Elementarmathematik Beispiele

$\log_{5} (4 x + 12) - \log_{5} (x - 13) = 3$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{5} (\frac{4 x + 12}{x - 13}) = 3$

Schritt 1.2

Faktorisiere $4$ aus $4 x + 12$ heraus.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$\log_{5} (\frac{4 (x) + 12}{x - 13}) = 3$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\log_{5} (\frac{4 x + 4 \cdot 3}{x - 13}) = 3$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $4$ aus $4 x + 4 \cdot 3$ heraus.

$\log_{5} (\frac{4 (x + 3)}{x - 13}) = 3$

Schritt 2

Schreibe $\log_{5} (\frac{4 (x + 3)}{x - 13}) = 3$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ $\neq$ $1$ , dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$5^{3} = \frac{4 (x + 3)}{x - 13}$

Schritt 3

Multipliziere über Kreuz, um den Bruch zu entfernen.

$4 (x + 3) = 5^{3} (x - 13)$

Schritt 4

Vereinfache $5^{3} (x - 13)$ .

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Schritt 4.1

Potenziere $5$ mit $3$ .

$4 (x + 3) = 125 (x - 13)$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (x + 3) = 125 x + 125 \cdot - 13$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $125$ mit $- 13$ .

$4 (x + 3) = 125 x - 1625$

Schritt 5

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $125 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 (x + 3) - 125 x = - 1625$

Schritt 5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x + 4 \cdot 3 - 125 x = - 1625$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$4 x + 12 - 125 x = - 1625$

Schritt 5.3

Subtrahiere $125 x$ von $4 x$ .

$- 121 x + 12 = - 1625$

Schritt 6

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Subtrahiere $12$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 121 x = - 1625 - 12$

Schritt 6.2

Subtrahiere $12$ von $- 1625$ .

$- 121 x = - 1637$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $- 121 x = - 1637$ durch $- 121$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $- 121 x = - 1637$ durch $- 121$ .

$\frac{- 121 x}{- 121} = \frac{- 1637}{- 121}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 121$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 121 x}{- 121} = \frac{- 1637}{- 121}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1637}{- 121}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{1637}{121}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{1637}{121}$

Dezimalform:

$x = 13.52892561 \dots$

Darstellung als gemischte Zahl:

$x = 13 \frac{64}{121}$