Elementarmathematik Beispiele

$x^{3} + 1331 = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $1331$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} = - 1331$

Schritt 2

Addiere $1331$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} + 1331 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Schreibe $1331$ als $11^{3}$ um.

$x^{3} + 11^{3} = 0$

Schritt 3.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = x$ und $b = 11$ .

$(x + 11) (x^{2} - x \cdot 11 + 11^{2}) = 0$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $11$ mit $- 1$ .

$(x + 11) (x^{2} - 11 x + 11^{2}) = 0$

Schritt 3.3.2

Potenziere $11$ mit $2$ .

$(x + 11) (x^{2} - 11 x + 121) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 11 = 0$

$x^{2} - 11 x + 121 = 0$

Schritt 5

Setze $x + 11$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x + 11$ gleich $0$ .

$x + 11 = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $11$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 11$

Schritt 6

Setze $x^{2} - 11 x + 121$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $x^{2} - 11 x + 121$ gleich $0$ .

$x^{2} - 11 x + 121 = 0$

Schritt 6.2

Löse $x^{2} - 11 x + 121 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 11$ und $c = 121$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 121)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache.

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Schritt 6.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.3.1.1

Potenziere $- 11$ mit $2$ .

$x = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 1 \cdot 121}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 121$ .

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Schritt 6.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 121}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $121$ .

$x = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 484}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.3

Subtrahiere $484$ von $121$ .

$x = \frac{11 \pm \sqrt{- 363}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.4

Schreibe $- 363$ als $- 1 (363)$ um.

$x = \frac{11 \pm \sqrt{- 1 \cdot 363}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (363)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{363}$ um.

$x = \frac{11 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{363}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{11 \pm i \cdot \sqrt{363}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.7

Schreibe $363$ als $11^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 6.2.3.1.7.1

Faktorisiere $121$ aus $363$ heraus.

$x = \frac{11 \pm i \cdot \sqrt{121 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.7.2

Schreibe $121$ als $11^{2}$ um.

$x = \frac{11 \pm i \cdot \sqrt{11^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{11 \pm i \cdot (11 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.9

Bringe $11$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{11 \pm 11 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{11 \pm 11 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{11 + 11 i \sqrt{3}}{2}, \frac{11 - 11 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 11) (x^{2} - 11 x + 121) = 0$ wahr machen.

$x = - 11, \frac{11 + 11 i \sqrt{3}}{2}, \frac{11 - 11 i \sqrt{3}}{2}$