Elementarmathematik Beispiele

$\log_{3} (x + 19) - \log_{3} (x - 7) = 3$

Schritt 1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{x + 19}{x - 7}) = 3$

Schritt 2

Schreibe $\log_{3} (\frac{x + 19}{x - 7}) = 3$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ $\neq$ $1$ , dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$3^{3} = \frac{x + 19}{x - 7}$

Schritt 3

Multipliziere über Kreuz, um den Bruch zu entfernen.

$x + 19 = 3^{3} (x - 7)$

Schritt 4

Vereinfache $3^{3} (x - 7)$ .

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Schritt 4.1

Potenziere $3$ mit $3$ .

$x + 19 = 27 (x - 7)$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 19 = 27 x + 27 \cdot - 7$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $27$ mit $- 7$ .

$x + 19 = 27 x - 189$

Schritt 5

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $27 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x + 19 - 27 x = - 189$

Schritt 5.2

Subtrahiere $27 x$ von $x$ .

$- 26 x + 19 = - 189$

Schritt 6

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Subtrahiere $19$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 26 x = - 189 - 19$

Schritt 6.2

Subtrahiere $19$ von $- 189$ .

$- 26 x = - 208$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $- 26 x = - 208$ durch $- 26$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $- 26 x = - 208$ durch $- 26$ .

$\frac{- 26 x}{- 26} = \frac{- 208}{- 26}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 26$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 26 x}{- 26} = \frac{- 208}{- 26}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 208}{- 26}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Dividiere $- 208$ durch $- 26$ .

$x = 8$