Elementarmathematik Beispiele

$\log_{3} (x - 2) = \log_{3} (x + 6) + 2$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\log_{3} (x - 2) - \log_{3} (x + 6) = 2$

Schritt 2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{x - 2}{x + 6}) = 2$

Schritt 3

Schreibe $\log_{3} (\frac{x - 2}{x + 6}) = 2$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ $\neq$ $1$ , dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$3^{2} = \frac{x - 2}{x + 6}$

Schritt 4

Multipliziere über Kreuz, um den Bruch zu entfernen.

$x - 2 = 3^{2} (x + 6)$

Schritt 5

Vereinfache $3^{2} (x + 6)$ .

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Schritt 5.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x - 2 = 9 (x + 6)$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x - 2 = 9 x + 9 \cdot 6$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $9$ mit $6$ .

$x - 2 = 9 x + 54$

Schritt 6

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Subtrahiere $9 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x - 2 - 9 x = 54$

Schritt 6.2

Subtrahiere $9 x$ von $x$ .

$- 8 x - 2 = 54$

Schritt 7

Faktorisiere $2$ aus $- 8 x - 2$ heraus.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $2$ aus $- 8 x$ heraus.

$2 (- 4 x) - 2 = 54$

Schritt 7.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$2 (- 4 x) + 2 (- 1) = 54$

Schritt 7.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 4 x) + 2 (- 1)$ heraus.

$2 (- 4 x - 1) = 54$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $2 (- 4 x - 1) = 54$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (- 4 x - 1) = 54$ durch $2$ .

$\frac{2 (- 4 x - 1)}{2} = \frac{54}{2}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- 4 x - 1)}{2} = \frac{54}{2}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $- 4 x - 1$ durch $1$ .

$- 4 x - 1 = \frac{54}{2}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Dividiere $54$ durch $2$ .

$- 4 x - 1 = 27$

Schritt 9

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 x = 27 + 1$

Schritt 9.2

Addiere $27$ und $1$ .

$- 4 x = 28$

Schritt 10

Teile jeden Ausdruck in $- 4 x = 28$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 10.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 x = 28$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{28}{- 4}$

Schritt 10.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 10.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{28}{- 4}$

Schritt 10.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{28}{- 4}$

Schritt 10.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.3.1

Dividiere $28$ durch $- 4$ .

$x = - 7$

Schritt 11

Schließe die Lösungen aus, die $\log_{3} (x - 2) = \log_{3} (x + 6) + 2$ nicht erfüllen.

$Keine Lösung$