Elementarmathematik Beispiele

$\log_{6} (x) + \log_{6} (x - 3) = 2$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{6} (x (x - 3)) = 2$

Schritt 1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{6} (x \cdot x + x \cdot - 3) = 2$

Schritt 1.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\log_{6} (x^{2} + x \cdot - 3) = 2$

Schritt 1.3.2

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $x$ .

$\log_{6} (x^{2} - 3 x) = 2$

Schritt 2

Schreibe $\log_{6} (x^{2} - 3 x) = 2$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$6^{2} = x^{2} - 3 x$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $x^{2} - 3 x = 6^{2}$ um.

$x^{2} - 3 x = 6^{2}$

Schritt 3.2

Potenziere $6$ mit $2$ .

$x^{2} - 3 x = 36$

Schritt 3.3

Subtrahiere $36$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 3 x - 36 = 0$

Schritt 3.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.5

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 3$ und $c = - 36$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 36)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6

Vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 36}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 36$ .

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Schritt 3.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 36}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 36$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 144}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.3

Addiere $9$ und $144$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{153}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.4

Schreibe $153$ als $3^{2} \cdot 17$ um.

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Schritt 3.6.1.4.1

Faktorisiere $9$ aus $153$ heraus.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 (17)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.4.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{3 \pm 3 \sqrt{17}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{3 \pm 3 \sqrt{17}}{2}$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{3 + 3 \sqrt{17}}{2}, \frac{3 - 3 \sqrt{17}}{2}$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\log_{6} (x) + \log_{6} (x - 3) = 2$ nicht erfüllen.

$x = \frac{3 + 3 \sqrt{17}}{2}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{3 + 3 \sqrt{17}}{2}$

Dezimalform:

$x = 7.68465843 \dots$