Elementarmathematik Beispiele

$\sqrt{2 \sqrt{x + 2}} = \sqrt{x + 2}$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{2 \sqrt{x + 2}}}^{2} = {\sqrt{x + 2}}^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 \sqrt{x + 2}}$ als ${(2 \sqrt{x + 2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(2 \sqrt{x + 2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\sqrt{x + 2}}^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({(2 \sqrt{x + 2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 \sqrt{x + 2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 \sqrt{x + 2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{x + 2}}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(2 \sqrt{x + 2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{x + 2}}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(2 \sqrt{x + 2})}^{1} = {\sqrt{x + 2}}^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

$2 \sqrt{x + 2} = {\sqrt{x + 2}}^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Schreibe ${\sqrt{x + 2}}^{2}$ als $x + 2$ um.

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Schritt 2.3.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 2}$ als ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$2 \sqrt{x + 2} = {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 2.3.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \sqrt{x + 2} = {(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 2.3.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$2 \sqrt{x + 2} = {(x + 2)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \sqrt{x + 2} = {(x + 2)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.3.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$2 \sqrt{x + 2} = {(x + 2)}^{1}$

Schritt 2.3.1.5

Vereinfache.

$2 \sqrt{x + 2} = x + 2$

Schritt 3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(2 \sqrt{x + 2})}^{2} = {(x + 2)}^{2}$

Schritt 4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 2}$ als ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 2)}^{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache ${(2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Wende die Produktregel auf $2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ an.

$2^{2} {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 2)}^{2}$

Schritt 4.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 2)}^{2}$

Schritt 4.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 2)}^{2}$

Schritt 4.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 {(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 2)}^{2}$

Schritt 4.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 {(x + 2)}^{1} = {(x + 2)}^{2}$

Schritt 4.2.1.4

Vereinfache.

$4 (x + 2) = {(x + 2)}^{2}$

Schritt 4.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x + 4 \cdot 2 = {(x + 2)}^{2}$

Schritt 4.2.1.6

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$4 x + 8 = {(x + 2)}^{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache ${(x + 2)}^{2}$ .

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Schritt 4.3.1.1

Schreibe ${(x + 2)}^{2}$ als $(x + 2) (x + 2)$ um.

$4 x + 8 = (x + 2) (x + 2)$

Schritt 4.3.1.2

Multipliziere $(x + 2) (x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x + 8 = x (x + 2) + 2 (x + 2)$

Schritt 4.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x + 8 = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)$

Schritt 4.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x + 8 = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Schritt 4.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$4 x + 8 = x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Schritt 4.3.1.3.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$4 x + 8 = x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2$

Schritt 4.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x + 8 = x^{2} + 2 x + 2 x + 4$

Schritt 4.3.1.3.2

Addiere $2 x$ und $2 x$ .

$4 x + 8 = x^{2} + 4 x + 4$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$x^{2} + 4 x + 4 = 4 x + 8$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $4 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 4 x + 4 - 4 x = 8$

Schritt 5.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} + 4 x + 4 - 4 x$ .

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Schritt 5.2.2.1

Subtrahiere $4 x$ von $4 x$ .

$x^{2} + 0 + 4 = 8$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$x^{2} + 4 = 8$

Schritt 5.3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 8 - 4$

Schritt 5.3.2

Subtrahiere $4$ von $8$ .

$x^{2} = 4$

Schritt 5.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Schritt 5.5

Vereinfache $\pm \sqrt{4}$ .

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Schritt 5.5.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Schritt 5.5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 2$

Schritt 5.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2$

Schritt 5.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2$

Schritt 5.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2, - 2$