Elementarmathematik Beispiele

$\log_{8} (x + 6) = 1 - \log_{8} (x + 4)$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\log_{8} (x + 6) + \log_{8} (x + 4) = 1$

Schritt 2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{8} ((x + 6) (x + 4)) = 1$

Schritt 3

Multipliziere $(x + 6) (x + 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{8} (x (x + 4) + 6 (x + 4)) = 1$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{8} (x \cdot x + x \cdot 4 + 6 (x + 4)) = 1$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{8} (x \cdot x + x \cdot 4 + 6 x + 6 \cdot 4) = 1$

Schritt 4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\log_{8} (x^{2} + x \cdot 4 + 6 x + 6 \cdot 4) = 1$

Schritt 4.1.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$\log_{8} (x^{2} + 4 \cdot x + 6 x + 6 \cdot 4) = 1$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $4$ .

$\log_{8} (x^{2} + 4 x + 6 x + 24) = 1$

Schritt 4.2

Addiere $4 x$ und $6 x$ .

$\log_{8} (x^{2} + 10 x + 24) = 1$

Schritt 5

Schreibe $\log_{8} (x^{2} + 10 x + 24) = 1$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$8^{1} = x^{2} + 10 x + 24$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $x^{2} + 10 x + 24 = 8^{1}$ um.

$x^{2} + 10 x + 24 = 8$

Schritt 6.2

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 10 x + 24 - 8 = 0$

Schritt 6.3

Subtrahiere $8$ von $24$ .

$x^{2} + 10 x + 16 = 0$

Schritt 6.4

Faktorisiere $x^{2} + 10 x + 16$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 6.4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $16$ und deren Summe $10$ ist.

$2, 8$

Schritt 6.4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x + 2) (x + 8) = 0$

Schritt 6.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

$x + 8 = 0$

Schritt 6.6

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.6.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 6.6.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 6.7

Setze $x + 8$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.7.1

Setze $x + 8$ gleich $0$ .

$x + 8 = 0$

Schritt 6.7.2

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 8$

Schritt 6.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 2) (x + 8) = 0$ wahr machen.

$x = - 2, - 8$

Schritt 7

Schließe die Lösungen aus, die $\log_{8} (x + 6) = 1 - \log_{8} (x + 4)$ nicht erfüllen.

$x = - 2$