Elementarmathematik Beispiele

$\log_{x} (\frac{1}{64}) = - \frac{3}{2}$

Schritt 1

Schreibe $\log_{x} (\frac{1}{64}) = - \frac{3}{2}$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$x^{- \frac{3}{2}} = \frac{1}{64}$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{64}$

Schritt 2.2

Multipliziere den Zähler des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs. Setze dies gleich dem Produkt aus dem Nenner des ersten Bruchs und dem Zähler des zweiten Bruchs.

$1 \cdot 64 = x^{\frac{3}{2}} \cdot 1$

Schritt 2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Schreibe die Gleichung als $x^{\frac{3}{2}} \cdot 1 = 1 \cdot 64$ um.

$x^{\frac{3}{2}} \cdot 1 = 1 \cdot 64$

Schritt 2.3.2

Verschiebe die Begriffe, die $x$ enthalten auf die linke Seite und vereinfache.

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Schritt 2.3.2.1

Mutltipliziere $x^{\frac{3}{2}}$ mit $1$ .

$x^{\frac{3}{2}} = 1 \cdot 64$

Schritt 2.3.2.2

Mutltipliziere $64$ mit $1$ .

$x^{\frac{3}{2}} = 64$

Schritt 2.3.3

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{2}{3}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = 64^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.3.4

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 2.3.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.4.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 2.3.4.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 2.3.4.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = 64^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.3.4.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.4.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = 64^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.3.4.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 64^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.3.4.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.4.1.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 64^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.3.4.1.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = 64^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.3.4.1.1.2

Vereinfache.

$x = 64^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.4.2.1

Vereinfache $64^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 2.3.4.2.1.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.4.2.1.1.1

Schreibe $64$ als $4^{3}$ um.

$x = {(4^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.3.4.2.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 4^{3 (\frac{2}{3})}$

Schritt 2.3.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.4.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 4^{3 (\frac{2}{3})}$

Schritt 2.3.4.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 4^{2}$

Schritt 2.3.4.2.1.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x = 16$