Elementarmathematik Beispiele

$\log_{9} (x + 6) + \log_{9} (x + 3) = 2$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{9} ((x + 6) (x + 3)) = 2$

Schritt 1.2

Multipliziere $(x + 6) (x + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{9} (x (x + 3) + 6 (x + 3)) = 2$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{9} (x \cdot x + x \cdot 3 + 6 (x + 3)) = 2$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{9} (x \cdot x + x \cdot 3 + 6 x + 6 \cdot 3) = 2$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\log_{9} (x^{2} + x \cdot 3 + 6 x + 6 \cdot 3) = 2$

Schritt 1.3.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$\log_{9} (x^{2} + 3 \cdot x + 6 x + 6 \cdot 3) = 2$

Schritt 1.3.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$\log_{9} (x^{2} + 3 x + 6 x + 18) = 2$

Schritt 1.3.2

Addiere $3 x$ und $6 x$ .

$\log_{9} (x^{2} + 9 x + 18) = 2$

Schritt 2

Schreibe $\log_{9} (x^{2} + 9 x + 18) = 2$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$9^{2} = x^{2} + 9 x + 18$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $x^{2} + 9 x + 18 = 9^{2}$ um.

$x^{2} + 9 x + 18 = 9^{2}$

Schritt 3.2

Potenziere $9$ mit $2$ .

$x^{2} + 9 x + 18 = 81$

Schritt 3.3

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Subtrahiere $81$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 9 x + 18 - 81 = 0$

Schritt 3.3.2

Subtrahiere $81$ von $18$ .

$x^{2} + 9 x - 63 = 0$

Schritt 3.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.5

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 9$ und $c = - 63$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 63)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6

Vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1.1

Potenziere $9$ mit $2$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 1 \cdot - 63}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 63$ .

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Schritt 3.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 63}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 63$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 252}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.3

Addiere $81$ und $252$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{333}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.4

Schreibe $333$ als $3^{2} \cdot 37$ um.

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Schritt 3.6.1.4.1

Faktorisiere $9$ aus $333$ heraus.

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{9 (37)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.4.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 37}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 9 \pm 3 \sqrt{37}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 9 \pm 3 \sqrt{37}}{2}$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{9 - 3 \sqrt{37}}{2}, - \frac{9 + 3 \sqrt{37}}{2}$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\log_{9} (x + 6) + \log_{9} (x + 3) = 2$ nicht erfüllen.

$x = - \frac{9 - 3 \sqrt{37}}{2}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{9 - 3 \sqrt{37}}{2}$

Dezimalform:

$x = 4.62414379 \dots$