Elementarmathematik Beispiele

$\log_{x} (8) = 0.5$

Schritt 1

Schreibe $\log_{x} (8) = 0.5$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$x^{0.5} = 8$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Wandle den dezimalen Exponenten in einen gebrochenen Exponenten um.

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Schritt 2.1.1

Wandle die Dezimalzahl in einen Bruch um, indem du die Dezimalen über einer Potenz von Zehn notierst. Da es $1$ Ziffer rechts vom Dezimaltrennzeichen gibt, notiere die Dezimale über $10^{1}$ $(10)$ . Als Nächstes addiere die ganze Zahl links von der Dezimalen.

$x^{0 \frac{5}{10}} = 8$

Schritt 2.1.2

Vereinfache den Bruch.

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Schritt 2.1.2.1

Wandle $0 \frac{5}{10}$ in einen unechten Bruch um.

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Schritt 2.1.2.1.1

Eine gemischter Zahl ist die Summe seines ganzzahligen und seines gebrochenen Teils.

$x^{0 + \frac{5}{10}} = 8$

Schritt 2.1.2.1.2

Addiere $0$ und $\frac{5}{10}$ .

$x^{\frac{5}{10}} = 8$

Schritt 2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $5$ und $10$ .

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Schritt 2.1.2.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$x^{\frac{5 (1)}{10}} = 8$

Schritt 2.1.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.2.2.2.1

Faktorisiere $5$ aus $10$ heraus.

$x^{\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 2}} = 8$

Schritt 2.1.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 2}} = 8$

Schritt 2.1.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{\frac{1}{2}} = 8$

Schritt 2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{1}{0.5}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{0.5}} = 8^{\frac{1}{0.5}}$

Schritt 2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{0.5}}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{0.5}}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{0.5}} = 8^{\frac{1}{0.5}}$

Schritt 2.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $0.5$ .

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Schritt 2.3.1.1.1.2.1

Faktorisiere $0.5$ aus $1$ heraus.

$x^{\frac{0.5 (2)}{2} \cdot \frac{1}{0.5}} = 8^{\frac{1}{0.5}}$

Schritt 2.3.1.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{0.5 \cdot 2}{2} \cdot \frac{1}{0.5}} = 8^{\frac{1}{0.5}}$

Schritt 2.3.1.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{\frac{2}{2}} = 8^{\frac{1}{0.5}}$

Schritt 2.3.1.1.1.3

Dividiere $2$ durch $2$ .

$x^{1} = 8^{\frac{1}{0.5}}$

Schritt 2.3.1.1.2

Vereinfache.

$x = 8^{\frac{1}{0.5}}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Vereinfache $8^{\frac{1}{0.5}}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Dividiere $1$ durch $0.5$ .

$x = 8^{2}$

Schritt 2.3.2.1.2

Potenziere $8$ mit $2$ .

$x = 64$