Elementarmathematik Beispiele

$\sqrt{18 x - 9} = x + 4$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{18 x - 9}}^{2} = {(x + 4)}^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{18 x - 9}$ als ${(18 x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(18 x - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 4)}^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({(18 x - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(18 x - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(18 x - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 4)}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(18 x - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 4)}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(18 x - 9)}^{1} = {(x + 4)}^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

$18 x - 9 = {(x + 4)}^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache ${(x + 4)}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Schreibe ${(x + 4)}^{2}$ als $(x + 4) (x + 4)$ um.

$18 x - 9 = (x + 4) (x + 4)$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere $(x + 4) (x + 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$18 x - 9 = x (x + 4) + 4 (x + 4)$

Schritt 2.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$18 x - 9 = x \cdot x + x \cdot 4 + 4 (x + 4)$

Schritt 2.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$18 x - 9 = x \cdot x + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4$

Schritt 2.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$18 x - 9 = x^{2} + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4$

Schritt 2.3.1.3.1.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$18 x - 9 = x^{2} + 4 \cdot x + 4 x + 4 \cdot 4$

Schritt 2.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$18 x - 9 = x^{2} + 4 x + 4 x + 16$

Schritt 2.3.1.3.2

Addiere $4 x$ und $4 x$ .

$18 x - 9 = x^{2} + 8 x + 16$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$x^{2} + 8 x + 16 = 18 x - 9$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $18 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 8 x + 16 - 18 x = - 9$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $18 x$ von $8 x$ .

$x^{2} - 10 x + 16 = - 9$

Schritt 3.3

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 10 x + 16 + 9 = 0$

Schritt 3.4

Addiere $16$ und $9$ .

$x^{2} - 10 x + 25 = 0$

Schritt 3.5

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.5.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$x^{2} - 10 x + 5^{2} = 0$

Schritt 3.5.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Schritt 3.5.3

Schreibe das Polynom neu.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2} = 0$

Schritt 3.5.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 5$ .

${(x - 5)}^{2} = 0$

Schritt 3.6

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 3.7

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$