Elementarmathematik Beispiele

$\tan^{3} (x) = \tan (x)$

Schritt 1

Subtrahiere $\tan (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\tan^{3} (x) - \tan (x) = 0$

Schritt 2

Faktorisiere $\tan^{3} (x) - \tan (x)$ .

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Schritt 2.1

Faktorisiere $\tan (x)$ aus $\tan^{3} (x) - \tan (x)$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $\tan (x)$ aus $\tan^{3} (x)$ heraus.

$\tan (x) \tan^{2} (x) - \tan (x) = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $\tan (x)$ aus $- \tan (x)$ heraus.

$\tan (x) \tan^{2} (x) + \tan (x) \cdot - 1 = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $\tan (x)$ aus $\tan (x) \tan^{2} (x) + \tan (x) \cdot - 1$ heraus.

$\tan (x) (\tan^{2} (x) - 1) = 0$

Schritt 2.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\tan (x) (\tan^{2} (x) - 1^{2}) = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere.

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Schritt 2.3.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \tan (x)$ und $b = 1$ .

$\tan (x) ((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)) = 0$

Schritt 2.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$\tan (x) (\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\tan (x) = 0$

$\tan (x) + 1 = 0$

$\tan (x) - 1 = 0$

Schritt 4

Setze $\tan (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $\tan (x)$ gleich $0$ .

$\tan (x) = 0$

Schritt 4.2

Löse $\tan (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (0)$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Der genau Wert von $\arctan (0)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 4.2.3

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$x = π + 0$

Schritt 4.2.4

Addiere $π$ und $0$ .

$x = π$

Schritt 4.2.5

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 4.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 4.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 4.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 4.2.5.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 4.2.6

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = π n, π + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 5

Setze $\tan (x) + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $\tan (x) + 1$ gleich $0$ .

$\tan (x) + 1 = 0$

Schritt 5.2

Löse $\tan (x) + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\tan (x) = - 1$

Schritt 5.2.2

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (- 1)$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Der genau Wert von $\arctan (- 1)$ ist $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Schritt 5.2.4

Die Tangensfunktion ist negativ im zweiten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Schritt 5.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 5.2.5.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Schritt 5.2.5.2

Der resultierende Winkel von $\frac{3 π}{4}$ ist positiv und gleich $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 5.2.6

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 5.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 5.2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 5.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 5.2.6.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 5.2.7

Addiere $π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 5.2.7.1

Addiere $π$ zu $- \frac{π}{4}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{4} + π$

Schritt 5.2.7.2

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 5.2.7.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.2.7.3.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 5.2.7.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Schritt 5.2.7.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.7.4.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Schritt 5.2.7.4.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Schritt 5.2.7.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 5.2.8

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 6

Setze $\tan (x) - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $\tan (x) - 1$ gleich $0$ .

$\tan (x) - 1 = 0$

Schritt 6.2

Löse $\tan (x) - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\tan (x) = 1$

Schritt 6.2.2

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (1)$

Schritt 6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Der genau Wert von $\arctan (1)$ ist $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 6.2.4

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$x = π + \frac{π}{4}$

Schritt 6.2.5

Vereinfache $π + \frac{π}{4}$ .

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Schritt 6.2.5.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 6.2.5.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.2.5.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 6.2.5.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Schritt 6.2.5.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.5.3.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Schritt 6.2.5.3.2

Addiere $4 π$ und $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Schritt 6.2.6

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 6.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 6.2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 6.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 6.2.6.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 6.2.7

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $\tan (x) (\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1) = 0$ wahr machen.

$x = π n, π + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 8

Fasse die Ergebnisse zusammen.

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Schritt 8.1

Führe $π n$ und $π + π n$ zu $π n$ zusammen.

$x = π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 8.2

Führe $\frac{3 π}{4} + π n$ und $\frac{π}{4} + π n$ zu $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ zusammen.

$x = π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 8.3

Führe $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ und $\frac{5 π}{4} + π n$ zu $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ zusammen.

$x = π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , für jede ganze Zahl $n$