Elementarmathematik Beispiele

$e^{x} - 9 + 20 e^{- x} = 0$

Schritt 1

Schreibe $e^{- x}$ als Potenz um.

$e^{x} - 9 + 20 {(e^{x})}^{- 1} = 0$

Schritt 2

Ersetze $e^{x}$ durch $u$ .

$u - 9 + 20 u^{- 1} = 0$

Schritt 3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u - 9 + 20 (\frac{1}{u}) = 0$

Schritt 3.2

Kombiniere $20$ und $\frac{1}{u}$ .

$u - 9 + \frac{20}{u} = 0$

Schritt 4

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 4.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 4.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, 1, u, 1$

Schritt 4.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$u$

Schritt 4.2

Multipliziere jeden Term in $u - 9 + \frac{20}{u} = 0$ mit $u$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 4.2.1

Multipliziere jeden Term in $u - 9 + \frac{20}{u} = 0$ mit $u$ .

$u \cdot u - 9 u + \frac{20}{u} u = 0 u$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.1

Mutltipliziere $u$ mit $u$ .

$u^{2} - 9 u + \frac{20}{u} u = 0 u$

Schritt 4.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $u$ .

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Schritt 4.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u^{2} - 9 u + \frac{20}{u} u = 0 u$

Schritt 4.2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$u^{2} - 9 u + 20 = 0 u$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $u$ .

$u^{2} - 9 u + 20 = 0$

Schritt 4.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Faktorisiere $u^{2} - 9 u + 20$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.3.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $20$ und deren Summe $- 9$ ist.

$- 5, - 4$

Schritt 4.3.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 5) (u - 4) = 0$

Schritt 4.3.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u - 5 = 0$

$u - 4 = 0$

Schritt 4.3.3

Setze $u - 5$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 4.3.3.1

Setze $u - 5$ gleich $0$ .

$u - 5 = 0$

Schritt 4.3.3.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 5$

Schritt 4.3.4

Setze $u - 4$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 4.3.4.1

Setze $u - 4$ gleich $0$ .

$u - 4 = 0$

Schritt 4.3.4.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 4$

Schritt 4.3.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(u - 5) (u - 4) = 0$ wahr machen.

$u = 5, 4$

Schritt 5

Setze $5$ für $u$ in $u = e^{x}$ ein.

$5 = e^{x}$

Schritt 6

Löse $5 = e^{x}$ .

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $e^{x} = 5$ um.

$e^{x} = 5$

Schritt 6.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (5)$

Schritt 6.3

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 6.3.1

Zerlege $\ln (e^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (e) = \ln (5)$

Schritt 6.3.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (5)$

Schritt 6.3.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x = \ln (5)$

Schritt 7

Setze $4$ für $u$ in $u = e^{x}$ ein.

$4 = e^{x}$

Schritt 8

Löse $4 = e^{x}$ .

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Schritt 8.1

Schreibe die Gleichung als $e^{x} = 4$ um.

$e^{x} = 4$

Schritt 8.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (4)$

Schritt 8.3

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 8.3.1

Zerlege $\ln (e^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (e) = \ln (4)$

Schritt 8.3.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (4)$

Schritt 8.3.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x = \ln (4)$

Schritt 9

Liste die Lösungen auf, die die Gleichung erfüllen.

$x = \ln (5), \ln (4)$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \ln (5), \ln (4)$

Dezimalform:

$x = 1.60943791 \dots, 1.38629436 \dots$