Elementarmathematik Beispiele

$e^{4 x} + 4 e^{2 x} - 32 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Schreibe $e^{4 x}$ als ${(e^{2 x})}^{2}$ um.

${(e^{2 x})}^{2} + 4 e^{2 x} - 32 = 0$

Schritt 1.2

Es sei $u = e^{2 x}$ . Ersetze $u$ für alle $e^{2 x}$ .

$u^{2} + 4 u - 32 = 0$

Schritt 1.3

Faktorisiere $u^{2} + 4 u - 32$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 32$ und deren Summe $4$ ist.

$- 4, 8$

Schritt 1.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 4) (u + 8) = 0$

Schritt 1.4

Ersetze alle $u$ durch $e^{2 x}$ .

$(e^{2 x} - 4) (e^{2 x} + 8) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$e^{2 x} - 4 = 0$

$e^{2 x} + 8 = 0$

Schritt 3

Setze $e^{2 x} - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $e^{2 x} - 4$ gleich $0$ .

$e^{2 x} - 4 = 0$

Schritt 3.2

Löse $e^{2 x} - 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$e^{2 x} = 4$

Schritt 3.2.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{2 x}) = \ln (4)$

Schritt 3.2.3

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.2.3.1

Zerlege $\ln (e^{2 x})$ durch Herausziehen von $2 x$ aus dem Logarithmus.

$2 x \ln (e) = \ln (4)$

Schritt 3.2.3.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$2 x \cdot 1 = \ln (4)$

Schritt 3.2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 x = \ln (4)$

Schritt 3.2.4

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \ln (4)$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \ln (4)$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\ln (4)}{2}$

Schritt 3.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\ln (4)}{2}$

Schritt 3.2.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\ln (4)}{2}$

Schritt 3.2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.4.3.1

Schreibe $\ln (4)$ als $\ln (2^{2})$ um.

$x = \frac{\ln (2^{2})}{2}$

Schritt 3.2.4.3.2

Zerlege $\ln (2^{2})$ durch Herausziehen von $2$ aus dem Logarithmus.

$x = \frac{2 \ln (2)}{2}$

Schritt 3.2.4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.4.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \ln (2)}{2}$

Schritt 3.2.4.3.3.2

Dividiere $\ln (2)$ durch $1$ .

$x = \ln (2)$

Schritt 4

Setze $e^{2 x} + 8$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $e^{2 x} + 8$ gleich $0$ .

$e^{2 x} + 8 = 0$

Schritt 4.2

Löse $e^{2 x} + 8 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$e^{2 x} = - 8$

Schritt 4.2.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{2 x}) = \ln (- 8)$

Schritt 4.2.3

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (- 8)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 4.2.4

Es gibt keine Lösung für $e^{2 x} = - 8$

Keine Lösung

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(e^{2 x} - 4) (e^{2 x} + 8) = 0$ wahr machen.

$x = \ln (2)$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \ln (2)$

Dezimalform:

$x = 0.69314718 \dots$