Elementarmathematik Beispiele

$e^{2 x} - 4 e^{x} = 5$

Schritt 1

Schreibe $e^{2 x}$ als Potenz um.

${(e^{x})}^{2} - 4 e^{x} = 5$

Schritt 2

Ersetze $e^{x}$ durch $u$ .

$u^{2} - 4 u = 5$

Schritt 3

Löse nach $u$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u^{2} - 4 u - 5 = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere $u^{2} - 4 u - 5$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 5$ und deren Summe $- 4$ ist.

$- 5, 1$

Schritt 3.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 5) (u + 1) = 0$

Schritt 3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u - 5 = 0$

$u + 1 = 0$

Schritt 3.4

Setze $u - 5$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Setze $u - 5$ gleich $0$ .

$u - 5 = 0$

Schritt 3.4.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 5$

Schritt 3.5

Setze $u + 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Setze $u + 1$ gleich $0$ .

$u + 1 = 0$

Schritt 3.5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u = - 1$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(u - 5) (u + 1) = 0$ wahr machen.

$u = 5, - 1$

Schritt 4

Setze $5$ für $u$ in $u = e^{x}$ ein.

$5 = e^{x}$

Schritt 5

Löse $5 = e^{x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $e^{x} = 5$ um.

$e^{x} = 5$

Schritt 5.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (5)$

Schritt 5.3

Multipliziere die linke Seite aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Zerlege $\ln (e^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (e) = \ln (5)$

Schritt 5.3.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (5)$

Schritt 5.3.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x = \ln (5)$

Schritt 6

Setze $- 1$ für $u$ in $u = e^{x}$ ein.

$- 1 = e^{x}$

Schritt 7

Löse $- 1 = e^{x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Schreibe die Gleichung als $e^{x} = - 1$ um.

$e^{x} = - 1$

Schritt 7.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (- 1)$

Schritt 7.3

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (- 1)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 7.4

Es gibt keine Lösung für $e^{x} = - 1$

Keine Lösung

Schritt 8

Liste die Lösungen auf, die die Gleichung erfüllen.

$x = \ln (5)$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \ln (5)$

Dezimalform:

$x = 1.60943791 \dots$