Elementarmathematik Beispiele

$\frac{7}{2 - x} = \frac{10 - 4 x}{x^{2} + 3 x - 10}$

Schritt 1

Vereinfache beide Seiten.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $2$ aus $10 - 4 x$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$\frac{7}{2 - x} = \frac{2 (5) - 4 x}{x^{2} + 3 x - 10}$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4 x$ heraus.

$\frac{7}{2 - x} = \frac{2 (5) + 2 (- 2 x)}{x^{2} + 3 x - 10}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (5) + 2 (- 2 x)$ heraus.

$\frac{7}{2 - x} = \frac{2 (5 - 2 x)}{x^{2} + 3 x - 10}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $x^{2} + 3 x - 10$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 10$ und deren Summe $3$ ist.

$- 2, 5$

Schritt 1.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{7}{2 - x} = \frac{2 (5 - 2 x)}{(x - 2) (x + 5)}$

Schritt 2

Multipliziere den Zähler des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs. Setze dies gleich dem Produkt aus dem Nenner des ersten Bruchs und dem Zähler des zweiten Bruchs.

$7 ((x - 2) (x + 5)) = (2 - x) (2 (5 - 2 x))$

Schritt 3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Vereinfache $7 (x - 2) (x + 5)$ .

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Schritt 3.1.1

Forme um.

$0 + 0 + 7 (x - 2) (x + 5) = (2 - x) \cdot (2 (5 - 2 x))$

Schritt 3.1.2

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(7 x + 7 \cdot - 2) (x + 5) = (2 - x) \cdot (2 (5 - 2 x))$

Schritt 3.1.2.2

Mutltipliziere $7$ mit $- 2$ .

$(7 x - 14) (x + 5) = (2 - x) \cdot (2 (5 - 2 x))$

Schritt 3.1.3

Multipliziere $(7 x - 14) (x + 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$7 x (x + 5) - 14 (x + 5) = (2 - x) \cdot (2 (5 - 2 x))$

Schritt 3.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$7 x \cdot x + 7 x \cdot 5 - 14 (x + 5) = (2 - x) \cdot (2 (5 - 2 x))$

Schritt 3.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$7 x \cdot x + 7 x \cdot 5 - 14 x - 14 \cdot 5 = (2 - x) \cdot (2 (5 - 2 x))$

Schritt 3.1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.4.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.4.1.1.1

Bewege $x$ .

$7 (x \cdot x) + 7 x \cdot 5 - 14 x - 14 \cdot 5 = (2 - x) \cdot (2 (5 - 2 x))$

Schritt 3.1.4.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$7 x^{2} + 7 x \cdot 5 - 14 x - 14 \cdot 5 = (2 - x) \cdot (2 (5 - 2 x))$

Schritt 3.1.4.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $7$ .

$7 x^{2} + 35 x - 14 x - 14 \cdot 5 = (2 - x) \cdot (2 (5 - 2 x))$

Schritt 3.1.4.1.3

Mutltipliziere $- 14$ mit $5$ .

$7 x^{2} + 35 x - 14 x - 70 = (2 - x) \cdot (2 (5 - 2 x))$

Schritt 3.1.4.2

Subtrahiere $14 x$ von $35 x$ .

$7 x^{2} + 21 x - 70 = (2 - x) \cdot (2 (5 - 2 x))$

Schritt 3.2

Vereinfache $(2 - x) \cdot (2 (5 - 2 x))$ .

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Schritt 3.2.1

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$7 x^{2} + 21 x - 70 = (2 - x) \cdot (2 \cdot 5 + 2 (- 2 x))$

Schritt 3.2.1.2

Multipliziere.

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Schritt 3.2.1.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$7 x^{2} + 21 x - 70 = (2 - x) \cdot (10 + 2 (- 2 x))$

Schritt 3.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$7 x^{2} + 21 x - 70 = (2 - x) \cdot (10 - 4 x)$

Schritt 3.2.2

Multipliziere $(2 - x) (10 - 4 x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$7 x^{2} + 21 x - 70 = 2 (10 - 4 x) - x (10 - 4 x)$

Schritt 3.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$7 x^{2} + 21 x - 70 = 2 \cdot 10 + 2 (- 4 x) - x (10 - 4 x)$

Schritt 3.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$7 x^{2} + 21 x - 70 = 2 \cdot 10 + 2 (- 4 x) - x \cdot 10 - x (- 4 x)$

Schritt 3.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $10$ .

$7 x^{2} + 21 x - 70 = 20 + 2 (- 4 x) - x \cdot 10 - x (- 4 x)$

Schritt 3.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$7 x^{2} + 21 x - 70 = 20 - 8 x - x \cdot 10 - x (- 4 x)$

Schritt 3.2.3.1.3

Mutltipliziere $10$ mit $- 1$ .

$7 x^{2} + 21 x - 70 = 20 - 8 x - 10 x - x (- 4 x)$

Schritt 3.2.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$7 x^{2} + 21 x - 70 = 20 - 8 x - 10 x - 1 \cdot - 4 x \cdot x$

Schritt 3.2.3.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.3.1.5.1

Bewege $x$ .

$7 x^{2} + 21 x - 70 = 20 - 8 x - 10 x - 1 \cdot - 4 (x \cdot x)$

Schritt 3.2.3.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$7 x^{2} + 21 x - 70 = 20 - 8 x - 10 x - 1 \cdot - 4 x^{2}$

Schritt 3.2.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$7 x^{2} + 21 x - 70 = 20 - 8 x - 10 x + 4 x^{2}$

Schritt 3.2.3.2

Subtrahiere $10 x$ von $- 8 x$ .

$7 x^{2} + 21 x - 70 = 20 - 18 x + 4 x^{2}$

Schritt 3.3

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Addiere $18 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$7 x^{2} + 21 x - 70 + 18 x = 20 + 4 x^{2}$

Schritt 3.3.2

Subtrahiere $4 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$7 x^{2} + 21 x - 70 + 18 x - 4 x^{2} = 20$

Schritt 3.3.3

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $7 x^{2}$ .

$3 x^{2} + 21 x - 70 + 18 x = 20$

Schritt 3.3.4

Addiere $21 x$ und $18 x$ .

$3 x^{2} + 39 x - 70 = 20$

Schritt 3.4

Subtrahiere $20$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} + 39 x - 70 - 20 = 0$

Schritt 3.5

Subtrahiere $20$ von $- 70$ .

$3 x^{2} + 39 x - 90 = 0$

Schritt 3.6

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.6.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2} + 39 x - 90$ heraus.

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Schritt 3.6.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$3 (x^{2}) + 39 x - 90 = 0$

Schritt 3.6.1.2

Faktorisiere $3$ aus $39 x$ heraus.

$3 (x^{2}) + 3 (13 x) - 90 = 0$

Schritt 3.6.1.3

Faktorisiere $3$ aus $- 90$ heraus.

$3 x^{2} + 3 (13 x) + 3 \cdot - 30 = 0$

Schritt 3.6.1.4

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2} + 3 (13 x)$ heraus.

$3 (x^{2} + 13 x) + 3 \cdot - 30 = 0$

Schritt 3.6.1.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (x^{2} + 13 x) + 3 \cdot - 30$ heraus.

$3 (x^{2} + 13 x - 30) = 0$

Schritt 3.6.2

Faktorisiere.

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Schritt 3.6.2.1

Faktorisiere $x^{2} + 13 x - 30$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.6.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 30$ und deren Summe $13$ ist.

$- 2, 15$

Schritt 3.6.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$3 ((x - 2) (x + 15)) = 0$

Schritt 3.6.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$3 (x - 2) (x + 15) = 0$

Schritt 3.7

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 15 = 0$

Schritt 3.8

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.8.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 3.8.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 3.9

Setze $x + 15$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.9.1

Setze $x + 15$ gleich $0$ .

$x + 15 = 0$

Schritt 3.9.2

Subtrahiere $15$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 15$

Schritt 3.10

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $3 (x - 2) (x + 15) = 0$ wahr machen.

$x = 2, - 15$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\frac{7}{2 - x} = \frac{10 - 4 x}{x^{2} + 3 x - 10}$ nicht erfüllen.

$x = - 15$