Elementarmathematik Beispiele

$3^{1 - 2 x} = 5^{x + 5}$

Schritt 1

Logarithmiere beide Seiten der Gleichung.

$\ln (3^{1 - 2 x}) = \ln (5^{x + 5})$

Schritt 2

Zerlege $\ln (3^{1 - 2 x})$ durch Herausziehen von $1 - 2 x$ aus dem Logarithmus.

$(1 - 2 x) \ln (3) = \ln (5^{x + 5})$

Schritt 3

Zerlege $\ln (5^{x + 5})$ durch Herausziehen von $x + 5$ aus dem Logarithmus.

$(1 - 2 x) \ln (3) = (x + 5) \ln (5)$

Schritt 4

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Vereinfache $(1 - 2 x) \ln (3)$ .

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Schritt 4.1.1

Forme um.

$0 + 0 + (1 - 2 x) \ln (3) = (x + 5) \ln (5)$

Schritt 4.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$(1 - 2 x) \ln (3) = (x + 5) \ln (5)$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \ln (3) - 2 x \ln (3) = (x + 5) \ln (5)$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $\ln (3)$ mit $1$ .

$\ln (3) - 2 x \ln (3) = (x + 5) \ln (5)$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (3) - 2 x \ln (3) = x \ln (5) + 5 \ln (5)$

Schritt 4.3

Subtrahiere $x \ln (5)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\ln (3) - 2 x \ln (3) - x \ln (5) = 5 \ln (5)$

Schritt 4.4

Subtrahiere $\ln (3)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x \ln (3) - x \ln (5) = 5 \ln (5) - \ln (3)$

Schritt 4.5

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x \ln (3) - x \ln (5)$ heraus.

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Schritt 4.5.1

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x \ln (3)$ heraus.

$x (- 2 \ln (3)) - x \ln (5) = 5 \ln (5) - \ln (3)$

Schritt 4.5.2

Faktorisiere $x$ aus $- x \ln (5)$ heraus.

$x (- 2 \ln (3)) + x (- 1 \ln (5)) = 5 \ln (5) - \ln (3)$

Schritt 4.5.3

Faktorisiere $x$ aus $x (- 2 \ln (3)) + x (- 1 \ln (5))$ heraus.

$x (- 2 \ln (3) - 1 \ln (5)) = 5 \ln (5) - \ln (3)$

Schritt 4.6

Schreibe $- 1 \ln (5)$ als $- \ln (5)$ um.

$x (- 2 \ln (3) - \ln (5)) = 5 \ln (5) - \ln (3)$

Schritt 4.7

Teile jeden Ausdruck in $x (- 2 \ln (3) - \ln (5)) = 5 \ln (5) - \ln (3)$ durch $- 2 \ln (3) - \ln (5)$ und vereinfache.

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Schritt 4.7.1

Teile jeden Ausdruck in $x (- 2 \ln (3) - \ln (5)) = 5 \ln (5) - \ln (3)$ durch $- 2 \ln (3) - \ln (5)$ .

$\frac{x (- 2 \ln (3) - \ln (5))}{- 2 \ln (3) - \ln (5)} = \frac{5 \ln (5)}{- 2 \ln (3) - \ln (5)} + \frac{- \ln (3)}{- 2 \ln (3) - \ln (5)}$

Schritt 4.7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2 \ln (3) - \ln (5)$ .

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Schritt 4.7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (- 2 \ln (3) - \ln (5))}{- 2 \ln (3) - \ln (5)} = \frac{5 \ln (5)}{- 2 \ln (3) - \ln (5)} + \frac{- \ln (3)}{- 2 \ln (3) - \ln (5)}$

Schritt 4.7.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{5 \ln (5)}{- 2 \ln (3) - \ln (5)} + \frac{- \ln (3)}{- 2 \ln (3) - \ln (5)}$

Schritt 4.7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.7.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{5 \ln (5) - \ln (3)}{- 2 \ln (3) - \ln (5)}$

Schritt 4.7.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 \ln (3)$ heraus.

$x = \frac{5 \ln (5) - \ln (3)}{- (2 \ln (3)) - \ln (5)}$

Schritt 4.7.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- \ln (5)$ heraus.

$x = \frac{5 \ln (5) - \ln (3)}{- (2 \ln (3)) - \ln (5)}$

Schritt 4.7.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 \ln (3)) - \ln (5)$ heraus.

$x = \frac{5 \ln (5) - \ln (3)}{- (2 \ln (3) + \ln (5))}$

Schritt 4.7.3.5

Stelle die Minuszeichen um.

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Schritt 4.7.3.5.1

Schreibe $- (2 \ln (3) + \ln (5))$ als $- 1 (2 \ln (3) + \ln (5))$ um.

$x = \frac{5 \ln (5) - \ln (3)}{- 1 (2 \ln (3) + \ln (5))}$

Schritt 4.7.3.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{5 \ln (5) - \ln (3)}{2 \ln (3) + \ln (5)}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{5 \ln (5) - \ln (3)}{2 \ln (3) + \ln (5)}$

Dezimalform:

$x = - 1.82537256 \dots$