Elementarmathematik Beispiele

$5^{x} + 125 (5^{- x}) = 30$

Schritt 1

Schreibe $5^{- x}$ als Potenz um.

$5^{x} + 125 \cdot {(5^{x})}^{- 1} = 30$

Schritt 2

Ersetze $5^{x}$ durch $u$ .

$u + 125 \cdot u^{- 1} = 30$

Schritt 3

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + 125 \cdot \frac{1}{u} = 30$

Schritt 3.2

Kombiniere $125$ und $\frac{1}{u}$ .

$u + \frac{125}{u} = 30$

Schritt 4

Löse nach $u$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, u, 1$

Schritt 4.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$u$

Schritt 4.2

Multipliziere jeden Term in $u + \frac{125}{u} = 30$ mit $u$ um die Brüche zu eliminieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Multipliziere jeden Term in $u + \frac{125}{u} = 30$ mit $u$ .

$u \cdot u + \frac{125}{u} u = 30 u$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1.1

Mutltipliziere $u$ mit $u$ .

$u^{2} + \frac{125}{u} u = 30 u$

Schritt 4.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u^{2} + \frac{125}{u} u = 30 u$

Schritt 4.2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$u^{2} + 125 = 30 u$

Schritt 4.3

Löse die Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Subtrahiere $30 u$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u^{2} + 125 - 30 u = 0$

Schritt 4.3.2

Faktorisiere $u^{2} + 125 - 30 u$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $125$ und deren Summe $- 30$ ist.

$- 25, - 5$

Schritt 4.3.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 25) (u - 5) = 0$

Schritt 4.3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u - 25 = 0$

$u - 5 = 0$

Schritt 4.3.4

Setze $u - 25$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.4.1

Setze $u - 25$ gleich $0$ .

$u - 25 = 0$

Schritt 4.3.4.2

Addiere $25$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 25$

Schritt 4.3.5

Setze $u - 5$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.5.1

Setze $u - 5$ gleich $0$ .

$u - 5 = 0$

Schritt 4.3.5.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 5$

Schritt 4.3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(u - 25) (u - 5) = 0$ wahr machen.

$u = 25, 5$

Schritt 5

Setze $25$ für $u$ in $u = 5^{x}$ ein.

$25 = 5^{x}$

Schritt 6

Löse $25 = 5^{x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $5^{x} = 25$ um.

$5^{x} = 25$

Schritt 6.2

Erzeuge äquivalente Ausdrücke in der Gleichung, die alle gleiche Basen haben.

$5^{x} = 5^{2}$

Schritt 6.3

Da die Basen gleich sind, sind zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$x = 2$

Schritt 7

Setze $5$ für $u$ in $u = 5^{x}$ ein.

$5 = 5^{x}$

Schritt 8

Löse $5 = 5^{x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Schreibe die Gleichung als $5^{x} = 5$ um.

$5^{x} = 5$

Schritt 8.2

Erzeuge äquivalente Ausdrücke in der Gleichung, die alle gleiche Basen haben.

$5^{x} = 5^{1}$

Schritt 8.3

Da die Basen gleich sind, sind zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$x = 1$

Schritt 9

Liste die Lösungen auf, die die Gleichung erfüllen.

$x = 2, 1$