Elementarmathematik Beispiele

$5^{x + 2} = 7^{x - 2}$

Schritt 1

Logarithmiere beide Seiten der Gleichung.

$\ln (5^{x + 2}) = \ln (7^{x - 2})$

Schritt 2

Zerlege $\ln (5^{x + 2})$ durch Herausziehen von $x + 2$ aus dem Logarithmus.

$(x + 2) \ln (5) = \ln (7^{x - 2})$

Schritt 3

Zerlege $\ln (7^{x - 2})$ durch Herausziehen von $x - 2$ aus dem Logarithmus.

$(x + 2) \ln (5) = (x - 2) \ln (7)$

Schritt 4

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Vereinfache $(x + 2) \ln (5)$ .

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Schritt 4.1.1

Forme um.

$0 + 0 + (x + 2) \ln (5) = (x - 2) \ln (7)$

Schritt 4.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$(x + 2) \ln (5) = (x - 2) \ln (7)$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \ln (5) + 2 \ln (5) = (x - 2) \ln (7)$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \ln (5) + 2 \ln (5) = x \ln (7) - 2 \ln (7)$

Schritt 4.3

Subtrahiere $x \ln (7)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (5) + 2 \ln (5) - x \ln (7) = - 2 \ln (7)$

Schritt 4.4

Subtrahiere $2 \ln (5)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (5) - x \ln (7) = - 2 \ln (7) - 2 \ln (5)$

Schritt 4.5

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (5) - x \ln (7)$ heraus.

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Schritt 4.5.1

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (5)$ heraus.

$x (\ln (5)) - x \ln (7) = - 2 \ln (7) - 2 \ln (5)$

Schritt 4.5.2

Faktorisiere $x$ aus $- x \ln (7)$ heraus.

$x (\ln (5)) + x (- 1 \ln (7)) = - 2 \ln (7) - 2 \ln (5)$

Schritt 4.5.3

Faktorisiere $x$ aus $x (\ln (5)) + x (- 1 \ln (7))$ heraus.

$x (\ln (5) - 1 \ln (7)) = - 2 \ln (7) - 2 \ln (5)$

Schritt 4.6

Schreibe $- 1 \ln (7)$ als $- \ln (7)$ um.

$x (\ln (5) - \ln (7)) = - 2 \ln (7) - 2 \ln (5)$

Schritt 4.7

Teile jeden Ausdruck in $x (\ln (5) - \ln (7)) = - 2 \ln (7) - 2 \ln (5)$ durch $\ln (5) - \ln (7)$ und vereinfache.

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Schritt 4.7.1

Teile jeden Ausdruck in $x (\ln (5) - \ln (7)) = - 2 \ln (7) - 2 \ln (5)$ durch $\ln (5) - \ln (7)$ .

$\frac{x (\ln (5) - \ln (7))}{\ln (5) - \ln (7)} = \frac{- 2 \ln (7)}{\ln (5) - \ln (7)} + \frac{- 2 \ln (5)}{\ln (5) - \ln (7)}$

Schritt 4.7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (5) - \ln (7)$ .

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Schritt 4.7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (\ln (5) - \ln (7))}{\ln (5) - \ln (7)} = \frac{- 2 \ln (7)}{\ln (5) - \ln (7)} + \frac{- 2 \ln (5)}{\ln (5) - \ln (7)}$

Schritt 4.7.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2 \ln (7)}{\ln (5) - \ln (7)} + \frac{- 2 \ln (5)}{\ln (5) - \ln (7)}$

Schritt 4.7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.7.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{- 2 \ln (7) - 2 \ln (5)}{\ln (5) - \ln (7)}$

Schritt 4.7.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \ln (7) - 2 \ln (5)$ heraus.

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Schritt 4.7.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \ln (7)$ heraus.

$x = \frac{2 (- \ln (7)) - 2 \ln (5)}{\ln (5) - \ln (7)}$

Schritt 4.7.3.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \ln (5)$ heraus.

$x = \frac{2 (- \ln (7)) + 2 (- \ln (5))}{\ln (5) - \ln (7)}$

Schritt 4.7.3.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- \ln (7)) + 2 (- \ln (5))$ heraus.

$x = \frac{2 (- \ln (7) - \ln (5))}{\ln (5) - \ln (7)}$

Schritt 4.7.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- \ln (7)$ heraus.

$x = \frac{2 (- \ln (7) - \ln (5))}{\ln (5) - \ln (7)}$

Schritt 4.7.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- \ln (5)$ heraus.

$x = \frac{2 (- \ln (7) - \ln (5))}{\ln (5) - \ln (7)}$

Schritt 4.7.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- \ln (7) - \ln (5)$ heraus.

$x = \frac{2 (- (\ln (7) + \ln (5)))}{\ln (5) - \ln (7)}$

Schritt 4.7.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.7.3.6.1

Schreibe $- (\ln (7) + \ln (5))$ als $- 1 (\ln (7) + \ln (5))$ um.

$x = \frac{2 (- 1 (\ln (7) + \ln (5)))}{\ln (5) - \ln (7)}$

Schritt 4.7.3.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{2 (\ln (7) + \ln (5))}{\ln (5) - \ln (7)}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{2 (\ln (7) + \ln (5))}{\ln (5) - \ln (7)}$

Dezimalform:

$x = 21.13308424 \dots$