Elementarmathematik Beispiele

$\frac{500}{100 - e^{\frac{x}{2}}} = 20$

Schritt 1

Multipliziere beide Seiten mit $100 - e^{\frac{x}{2}}$ .

$\frac{500}{100 - e^{\frac{x}{2}}} (100 - e^{\frac{x}{2}}) = 20 (100 - e^{\frac{x}{2}})$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $100 - e^{\frac{x}{2}}$ .

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Schritt 2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{500}{100 - e^{\frac{x}{2}}} (100 - e^{\frac{x}{2}}) = 20 (100 - e^{\frac{x}{2}})$

Schritt 2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$500 = 20 (100 - e^{\frac{x}{2}})$

Schritt 2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $20 (100 - e^{\frac{x}{2}})$ .

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Schritt 2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$500 = 20 \cdot 100 + 20 (- e^{\frac{x}{2}})$

Schritt 2.2.1.2

Multipliziere.

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Schritt 2.2.1.2.1

Mutltipliziere $20$ mit $100$ .

$500 = 2000 + 20 (- e^{\frac{x}{2}})$

Schritt 2.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $20$ .

$500 = 2000 - 20 e^{\frac{x}{2}}$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $2000 - 20 e^{\frac{x}{2}} = 500$ um.

$2000 - 20 e^{\frac{x}{2}} = 500$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $2000$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 20 e^{\frac{x}{2}} = 500 - 2000$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $2000$ von $500$ .

$- 20 e^{\frac{x}{2}} = - 1500$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $- 20 e^{\frac{x}{2}} = - 1500$ durch $- 20$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 20 e^{\frac{x}{2}} = - 1500$ durch $- 20$ .

$\frac{- 20 e^{\frac{x}{2}}}{- 20} = \frac{- 1500}{- 20}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 20$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 20 e^{\frac{x}{2}}}{- 20} = \frac{- 1500}{- 20}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $e^{\frac{x}{2}}$ durch $1$ .

$e^{\frac{x}{2}} = \frac{- 1500}{- 20}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Dividiere $- 1500$ durch $- 20$ .

$e^{\frac{x}{2}} = 75$

Schritt 3.4

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{\frac{x}{2}}) = \ln (75)$

Schritt 3.5

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.5.1

Zerlege $\ln (e^{\frac{x}{2}})$ durch Herausziehen von $\frac{x}{2}$ aus dem Logarithmus.

$\frac{x}{2} \ln (e) = \ln (75)$

Schritt 3.5.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$\frac{x}{2} \cdot 1 = \ln (75)$

Schritt 3.5.3

Mutltipliziere $\frac{x}{2}$ mit $1$ .

$\frac{x}{2} = \ln (75)$

Schritt 3.6

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \ln (75)$

Schritt 3.7

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.7.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x}{2} = 2 \ln (75)$

Schritt 3.7.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 \ln (75)$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = 2 \ln (75)$

Dezimalform:

$x = 8.63497622 \dots$