Elementarmathematik Beispiele

$\frac{\sqrt[4]{27}}{\sqrt[3]{81}}$

Schritt 1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1

Schreibe $81$ als $3^{3} \cdot 3$ um.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $27$ aus $81$ heraus.

$\frac{\sqrt[4]{27}}{\sqrt[3]{27 (3)}}$

Schritt 1.1.2

Schreibe $27$ als $3^{3}$ um.

$\frac{\sqrt[4]{27}}{\sqrt[3]{3^{3} \cdot 3}}$

Schritt 1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{\sqrt[4]{27}}{3 \sqrt[3]{3}}$

Schritt 2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[4]{27}}{3 \sqrt[3]{3}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$ .

$\frac{\sqrt[4]{27}}{3 \sqrt[3]{3}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$

Schritt 3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[4]{27}}{3 \sqrt[3]{3}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$ .

$\frac{\sqrt[4]{27} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3 \sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{3}}^{2}}$

Schritt 3.2

Bewege $\sqrt[3]{3}$ .

$\frac{\sqrt[4]{27} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3 (\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{3}}^{2})}$

Schritt 3.3

Potenziere $\sqrt[3]{3}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt[4]{27} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3 ({\sqrt[3]{3}}^{1} {\sqrt[3]{3}}^{2})}$

Schritt 3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt[4]{27} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3 {\sqrt[3]{3}}^{1 + 2}}$

Schritt 3.5

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{\sqrt[4]{27} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3 {\sqrt[3]{3}}^{3}}$

Schritt 3.6

Schreibe ${\sqrt[3]{3}}^{3}$ als $3$ um.

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Schritt 3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{3}$ als $3^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt[4]{27} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3 {(3^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt[4]{27} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3 \cdot 3^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$\frac{\sqrt[4]{27} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3 \cdot 3^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt[4]{27} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3 \cdot 3^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt[4]{27} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3 \cdot 3^{1}}$

Schritt 3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt[4]{27} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3 \cdot 3}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Schreibe ${\sqrt[3]{3}}^{2}$ als $\sqrt[3]{3^{2}}$ um.

$\frac{\sqrt[4]{27} \sqrt[3]{3^{2}}}{3 \cdot 3}$

Schritt 4.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt[4]{27} \sqrt[3]{9}}{3 \cdot 3}$

Schritt 5

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{\sqrt[4]{27} \sqrt[3]{9}}{9}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Forme den Ausdruck um unter Verwendung des kleinsten gemeinsamen Index von $12$ .

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Schritt 6.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{27}$ als $27^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

$\frac{27^{\frac{1}{4}} \sqrt[3]{9}}{9}$

Schritt 6.1.2

Schreibe $27^{\frac{1}{4}}$ als $27^{\frac{3}{12}}$ um.

$\frac{27^{\frac{3}{12}} \sqrt[3]{9}}{9}$

Schritt 6.1.3

Schreibe $27^{\frac{3}{12}}$ als $\sqrt[12]{27^{3}}$ um.

$\frac{\sqrt[12]{27^{3}} \sqrt[3]{9}}{9}$

Schritt 6.1.4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{9}$ als $9^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt[12]{27^{3}} \cdot 9^{\frac{1}{3}}}{9}$

Schritt 6.1.5

Schreibe $9^{\frac{1}{3}}$ als $9^{\frac{4}{12}}$ um.

$\frac{\sqrt[12]{27^{3}} \cdot 9^{\frac{4}{12}}}{9}$

Schritt 6.1.6

Schreibe $9^{\frac{4}{12}}$ als $\sqrt[12]{9^{4}}$ um.

$\frac{\sqrt[12]{27^{3}} \sqrt[12]{9^{4}}}{9}$

Schritt 6.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt[12]{27^{3} \cdot 9^{4}}}{9}$

Schritt 6.3

Schreibe $27$ als $3^{3}$ um.

$\frac{\sqrt[12]{{(3^{3})}^{3} \cdot 9^{4}}}{9}$

Schritt 6.4

Multipliziere die Exponenten in ${(3^{3})}^{3}$ .

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Schritt 6.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt[12]{3^{3 \cdot 3} \cdot 9^{4}}}{9}$

Schritt 6.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{\sqrt[12]{3^{9} \cdot 9^{4}}}{9}$

Schritt 6.5

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{\sqrt[12]{3^{9} \cdot {(3^{2})}^{4}}}{9}$

Schritt 6.6

Multipliziere die Exponenten in ${(3^{2})}^{4}$ .

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Schritt 6.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt[12]{3^{9} \cdot 3^{2 \cdot 4}}}{9}$

Schritt 6.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{\sqrt[12]{3^{9} \cdot 3^{8}}}{9}$

Schritt 6.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt[12]{3^{9 + 8}}}{9}$

Schritt 6.8

Addiere $9$ und $8$ .

$\frac{\sqrt[12]{3^{17}}}{9}$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Potenziere $3$ mit $17$ .

$\frac{\sqrt[12]{129140163}}{9}$

Schritt 7.2

Schreibe $129140163$ als $3^{12} \cdot 243$ um.

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Schritt 7.2.1

Faktorisiere $531441$ aus $129140163$ heraus.

$\frac{\sqrt[12]{531441 (243)}}{9}$

Schritt 7.2.2

Schreibe $531441$ als $3^{12}$ um.

$\frac{\sqrt[12]{3^{12} \cdot 243}}{9}$

Schritt 7.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{3 \sqrt[12]{243}}{9}$

Schritt 8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $9$ .

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Schritt 8.1

Faktorisiere $3$ aus $3 \sqrt[12]{243}$ heraus.

$\frac{3 (\sqrt[12]{243})}{9}$

Schritt 8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\frac{3 \sqrt[12]{243}}{3 \cdot 3}$

Schritt 8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \sqrt[12]{243}}{3 \cdot 3}$

Schritt 8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt[12]{243}}{3}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\sqrt[12]{243}}{3}$

Dezimalform:

$0.52684063 \dots$