Elementarmathematik Beispiele

$\sin (arcsec (\frac{4}{x}))$

Schritt 1

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(1, \sqrt{{(\frac{4}{x})}^{2} - 1^{2}})$ , $(1, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $arcsec (\frac{4}{x})$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(1, \sqrt{{(\frac{4}{x})}^{2} - 1^{2}})$ verläuft. Folglich ist $\sin (arcsec (\frac{4}{x}))$ $\frac{\sqrt{{(\frac{4}{x})}^{2} - 1}}{\frac{4}{x}}$ .

$\frac{\sqrt{{(\frac{4}{x})}^{2} - 1}}{\frac{4}{x}}$

Schritt 2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sqrt{{(\frac{4}{x})}^{2} - 1} \frac{x}{4}$

Schritt 3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\sqrt{{(\frac{4}{x})}^{2} - 1^{2}} \frac{x}{4}$

Schritt 4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \frac{4}{x}$ und $b = 1$ .

$\sqrt{(\frac{4}{x} + 1) (\frac{4}{x} - 1)} \frac{x}{4}$

Schritt 5

Kombiniere zu einem Bruch.

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Schritt 5.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{(\frac{4}{x} + \frac{x}{x}) (\frac{4}{x} - 1)} \frac{x}{4}$

Schritt 5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{4 + x}{x} (\frac{4}{x} - 1)} \frac{x}{4}$

Schritt 6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\sqrt{\frac{4 + x}{x} (\frac{4}{x} - 1 \cdot \frac{x}{x})} \frac{x}{4}$

Schritt 7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{x}{x}$ .

$\sqrt{\frac{4 + x}{x} (\frac{4}{x} + \frac{- x}{x})} \frac{x}{4}$

Schritt 8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{4 + x}{x} \cdot \frac{4 - x}{x}} \frac{x}{4}$

Schritt 9

Mutltipliziere $\frac{4 + x}{x}$ mit $\frac{4 - x}{x}$ .

$\sqrt{\frac{(4 + x) (4 - x)}{x \cdot x}} \frac{x}{4}$

Schritt 10

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\sqrt{\frac{(4 + x) (4 - x)}{x^{2}}} \frac{x}{4}$

Schritt 11

Schreibe $\frac{(4 + x) (4 - x)}{x^{2}}$ als ${(\frac{1}{x})}^{2} ((4 + x) (4 - x))$ um.

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Schritt 11.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $(4 + x) (4 - x)$ heraus.

$\sqrt{\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{x^{2}}} \frac{x}{4}$

Schritt 11.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $x^{2}$ aus $x^{2}$ heraus.

$\sqrt{\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{x^{2} \cdot 1}} \frac{x}{4}$

Schritt 11.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{x^{2} \cdot 1}$ um.

$\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} ((4 + x) (4 - x))} \frac{x}{4}$

Schritt 12

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{1}{x} \sqrt{(4 + x) (4 - x)} \frac{x}{4}$

Schritt 13

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ .

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{x} \cdot \frac{x}{4}$

Schritt 14

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 14.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{x} \cdot \frac{x}{4}$

Schritt 14.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{(4 + x) (4 - x)} \frac{1}{4}$

Schritt 15

Kombiniere $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4}$