Elementarmathematik Beispiele

$\cos (\arcsin (\frac{1}{9} x))$

Schritt 1

Formuliere den Ausdruck mithilfe von Exponenten.

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Schritt 1.1

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{1}{9} x)}^{2}}, \frac{1}{9} x)$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{1}{9} x)}^{2}}, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $\arcsin (\frac{1}{9} x)$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{1}{9} x)}^{2}}, \frac{1}{9} x)$ verläuft. Folglich ist $\cos (\arcsin (\frac{1}{9} x))$ $\sqrt{1 - {(\frac{1}{9} x)}^{2}}$ .

$\sqrt{1 - {(\frac{1}{9} x)}^{2}}$

Schritt 1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\sqrt{1^{2} - {(\frac{1}{9} x)}^{2}}$

Schritt 2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \frac{1}{9} x$ .

$\sqrt{(1 + \frac{1}{9} x) (1 - (\frac{1}{9} x))}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{1}{9}$ und $x$ .

$\sqrt{(1 + \frac{x}{9}) (1 - (\frac{1}{9} x))}$

Schritt 3.2

Kombiniere $\frac{1}{9}$ und $x$ .

$\sqrt{(1 + \frac{x}{9}) (1 - \frac{x}{9})}$

Schritt 4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{(\frac{9}{9} + \frac{x}{9}) (1 - \frac{x}{9})}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{9 + x}{9} (1 - \frac{x}{9})}$

Schritt 6

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{9 + x}{9} (\frac{9}{9} - \frac{x}{9})}$

Schritt 7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{9 + x}{9} \cdot \frac{9 - x}{9}}$

Schritt 8

Mutltipliziere $\frac{9 + x}{9}$ mit $\frac{9 - x}{9}$ .

$\sqrt{\frac{(9 + x) (9 - x)}{9 \cdot 9}}$

Schritt 9

Mutltipliziere $9$ mit $9$ .

$\sqrt{\frac{(9 + x) (9 - x)}{81}}$

Schritt 10

Schreibe $\frac{(9 + x) (9 - x)}{81}$ als ${(\frac{1}{9})}^{2} ((9 + x) (9 - x))$ um.

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Schritt 10.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $(9 + x) (9 - x)$ heraus.

$\sqrt{\frac{1^{2} ((9 + x) (9 - x))}{81}}$

Schritt 10.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $9^{2}$ aus $81$ heraus.

$\sqrt{\frac{1^{2} ((9 + x) (9 - x))}{9^{2} \cdot 1}}$

Schritt 10.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} ((9 + x) (9 - x))}{9^{2} \cdot 1}$ um.

$\sqrt{{(\frac{1}{9})}^{2} ((9 + x) (9 - x))}$

Schritt 11

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{1}{9} \sqrt{(9 + x) (9 - x)}$

Schritt 12

Kombiniere $\frac{1}{9}$ und $\sqrt{(9 + x) (9 - x)}$ .

$\frac{\sqrt{(9 + x) (9 - x)}}{9}$