Elementarmathematik Beispiele

$x^{4} - 13 x^{2} + 40 = 0$

Schritt 1

Setze $u = x^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$u^{2} - 13 u + 40 = 0$

$u = x^{2}$

Schritt 2

Faktorisiere $u^{2} - 13 u + 40$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $40$ und deren Summe $- 13$ ist.

$- 8, - 5$

Schritt 2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 8) (u - 5) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u - 8 = 0$

$u - 5 = 0$

Schritt 4

Setze $u - 8$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $u - 8$ gleich $0$ .

$u - 8 = 0$

Schritt 4.2

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 8$

Schritt 5

Setze $u - 5$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $u - 5$ gleich $0$ .

$u - 5 = 0$

Schritt 5.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 5$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(u - 8) (u - 5) = 0$ wahr machen.

$u = 8, 5$

Schritt 7

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = x^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$x^{2} = 8$

${(x^{2})}^{1} = 5$

Schritt 8

Löse die erste Gleichung nach $x$ auf.

$x^{2} = 8$

Schritt 9

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{8}$

Schritt 9.2

Vereinfache $\pm \sqrt{8}$ .

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Schritt 9.2.1

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 9.2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x = \pm \sqrt{4 (2)}$

Schritt 9.2.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Schritt 9.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm 2 \sqrt{2}$

Schritt 9.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 9.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2 \sqrt{2}$

Schritt 9.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2 \sqrt{2}$

Schritt 9.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}$

Schritt 10

Löse die zweite Gleichung nach $x$ auf.

${(x^{2})}^{1} = 5$

Schritt 11

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Entferne die Klammern.

$x^{2} = 5$

Schritt 11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{5}$

Schritt 11.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 11.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{5}$

Schritt 11.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{5}$

Schritt 11.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Schritt 12

Die Lösung von $x^{4} - 13 x^{2} + 40 = 0$ ist $x = 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$ .

$x = 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Schritt 13

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Dezimalform:

$x = 2.82842712 \dots, - 2.82842712 \dots, 2.23606797 \dots, - 2.23606797 \dots$