Elementarmathematik Beispiele

$0 = 3^{2 x + 1} - 70$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $3^{2 x + 1} - 70 = 0$ um.

$3^{2 x + 1} - 70 = 0$

Schritt 2

Addiere $70$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3^{2 x + 1} = 70$

Schritt 3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (3^{2 x + 1}) = \ln (70)$

Schritt 4

Zerlege $\ln (3^{2 x + 1})$ durch Herausziehen von $2 x + 1$ aus dem Logarithmus.

$(2 x + 1) \ln (3) = \ln (70)$

Schritt 5

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1

Vereinfache $(2 x + 1) \ln (3)$ .

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Schritt 5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x \ln (3) + 1 \ln (3) = \ln (70)$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $\ln (3)$ mit $1$ .

$2 x \ln (3) + \ln (3) = \ln (70)$

Schritt 6

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$2 x \ln (3) + \ln (3) - \ln (70) = 0$

Schritt 7

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 x \ln (3) + \ln (\frac{3}{70}) = 0$

Schritt 8

Subtrahiere $\ln (\frac{3}{70})$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x \ln (3) = - \ln (\frac{3}{70})$

Schritt 9

Teile jeden Ausdruck in $2 x \ln (3) = - \ln (\frac{3}{70})$ durch $2 \ln (3)$ und vereinfache.

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Schritt 9.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x \ln (3) = - \ln (\frac{3}{70})$ durch $2 \ln (3)$ .

$\frac{2 x \ln (3)}{2 \ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{3}{70})}{2 \ln (3)}$

Schritt 9.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x \ln (3)}{2 \ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{3}{70})}{2 \ln (3)}$

Schritt 9.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{3}{70})}{2 \ln (3)}$

Schritt 9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (3)$ .

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Schritt 9.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{3}{70})}{2 \ln (3)}$

Schritt 9.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \ln (\frac{3}{70})}{2 \ln (3)}$

Schritt 9.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{\ln (\frac{3}{70})}{2 \ln (3)}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{\ln (\frac{3}{70})}{2 \ln (3)}$

Dezimalform:

$x = 1.43357351 \dots$