Elementarmathematik Beispiele

$\ln (2 - 5 x) > 2$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$\ln (2 - 5 x) = 2$

Schritt 2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.1

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (2 - 5 x)} = e^{2}$

Schritt 2.2

Schreibe $\ln (2 - 5 x) = 2$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{2} = 2 - 5 x$

Schritt 2.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Schreibe die Gleichung als $2 - 5 x = e^{2}$ um.

$2 - 5 x = e^{2}$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 5 x = e^{2} - 2$

Schritt 2.3.3

Teile jeden Ausdruck in $- 5 x = e^{2} - 2$ durch $- 5$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 5 x = e^{2} - 2$ durch $- 5$ .

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{e^{2}}{- 5} + \frac{- 2}{- 5}$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 5$ .

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Schritt 2.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{e^{2}}{- 5} + \frac{- 2}{- 5}$

Schritt 2.3.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{e^{2}}{- 5} + \frac{- 2}{- 5}$

Schritt 2.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.3.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{e^{2}}{5} + \frac{- 2}{- 5}$

Schritt 2.3.3.3.1.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = - \frac{e^{2}}{5} + \frac{2}{5}$

Schritt 3

Bestimme den Definitionsbereich von $\ln (2 - 5 x) - 2$ .

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Schritt 3.1

Setze das Argument in $\ln (2 - 5 x)$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$2 - 5 x > 0$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- 5 x > - 2$

Schritt 3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 5 x > - 2$ durch $- 5$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

Teile jeden Term in $- 5 x > - 2$ durch $- 5$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- 5 x}{- 5} < \frac{- 2}{- 5}$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 5$ .

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Schritt 3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 5 x}{- 5} < \frac{- 2}{- 5}$

Schritt 3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x < \frac{- 2}{- 5}$

Schritt 3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x < \frac{2}{5}$

Schritt 3.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, \frac{2}{5})$

Schritt 4

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - \frac{e^{2}}{5} + \frac{2}{5}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x < - \frac{e^{2}}{5} + \frac{2}{5}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - \frac{e^{2}}{5} + \frac{2}{5})$

Schritt 6