Elementarmathematik Beispiele

$\frac{x^{2} - 11 x - 18}{x (x^{2} + 3 x + 3)}$

Schritt 1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 1.1

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor von zweiter Ordnung ist, sind $2$ Terme im Zähler erforderlich. Die Anzahl der erforderlichen Terme im Zähler ist immer gleich der Ordnung des Faktors im Nenner.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 3 x + 3}$

Schritt 1.2

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $x (x^{2} + 3 x + 3)$ .

$\frac{(x^{2} - 11 x - 18) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x (x^{2} + 3 x + 3)} = \frac{A (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x^{2} + 3 x + 3}$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x^{2} - 11 x - 18) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x (x^{2} + 3 x + 3)} = \frac{A (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x^{2} + 3 x + 3}$

Schritt 1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x^{2} - 11 x - 18) (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3} = \frac{A (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x^{2} + 3 x + 3}$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + 3 x + 3$ .

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Schritt 1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x^{2} - 11 x - 18) (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3} = \frac{A (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x^{2} + 3 x + 3}$

Schritt 1.4.2

Dividiere $x^{2} - 11 x - 18$ durch $1$ .

$x^{2} - 11 x - 18 = \frac{A (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x^{2} + 3 x + 3}$

Schritt 1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} - 11 x - 18 = \frac{A (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x^{2} + 3 x + 3}$

Schritt 1.5.1.2

Dividiere $A (x^{2} + 3 x + 3)$ durch $1$ .

$x^{2} - 11 x - 18 = A (x^{2} + 3 x + 3) + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x^{2} + 3 x + 3}$

Schritt 1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - 11 x - 18 = A x^{2} + A (3 x) + A \cdot 3 + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x^{2} + 3 x + 3}$

Schritt 1.5.3

Vereinfache.

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Schritt 1.5.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{2} - 11 x - 18 = A x^{2} + 3 A x + A \cdot 3 + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x^{2} + 3 x + 3}$

Schritt 1.5.3.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $A$ .

$x^{2} - 11 x - 18 = A x^{2} + 3 A x + 3 \cdot A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x^{2} + 3 x + 3}$

Schritt 1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + 3 x + 3$ .

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Schritt 1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} - 11 x - 18 = A x^{2} + 3 A x + 3 A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x^{2} + 3 x + 3}$

Schritt 1.5.4.2

Dividiere $(B x + C) (x)$ durch $1$ .

$x^{2} - 11 x - 18 = A x^{2} + 3 A x + 3 A + (B x + C) (x)$

Schritt 1.5.5

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - 11 x - 18 = A x^{2} + 3 A x + 3 A + B x \cdot x + C x$

Schritt 1.5.6

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.6.1

Bewege $x$ .

$x^{2} - 11 x - 18 = A x^{2} + 3 A x + 3 A + B (x \cdot x) + C x$

Schritt 1.5.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} - 11 x - 18 = A x^{2} + 3 A x + 3 A + B x^{2} + C x$

Schritt 1.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.6.1

Bewege $A$ .

$x^{2} - 11 x - 18 = A x^{2} + 3 x A + 3 A + B x^{2} + C x$

Schritt 1.6.2

Stelle $B$ und $x^{2}$ um.

$x^{2} - 11 x - 18 = A x^{2} + 3 x A + 3 A + B x^{2} + C x$

Schritt 1.6.3

Bewege $3 A$ .

$x^{2} - 11 x - 18 = A x^{2} + 3 x A + B x^{2} + C x + 3 A$

Schritt 1.6.4

Bewege $3 x A$ .

$x^{2} - 11 x - 18 = A x^{2} + B x^{2} + 3 x A + C x + 3 A$

Schritt 2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x^{2}$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$1 = A + B$

Schritt 2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$- 11 = 3 A + C$

Schritt 2.3

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $x$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$- 18 = 3 A$

Schritt 2.4

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$1 = A + B$

$- 11 = 3 A + C$

$- 18 = 3 A$

$1 = A + B$

$- 11 = 3 A + C$

$- 18 = 3 A$

Schritt 3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 3.1

Löse in $- 18 = 3 A$ nach $A$ auf.

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Schritt 3.1.1

Schreibe die Gleichung als $3 A = - 18$ um.

$3 A = - 18$

$1 = A + B$

$- 11 = 3 A + C$

Schritt 3.1.2

Teile jeden Ausdruck in $3 A = - 18$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 A = - 18$ durch $3$ .

$\frac{3 A}{3} = \frac{- 18}{3}$

$1 = A + B$

$- 11 = 3 A + C$

Schritt 3.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 A}{3} = \frac{- 18}{3}$

$1 = A + B$

$- 11 = 3 A + C$

Schritt 3.1.2.2.1.2

Dividiere $A$ durch $1$ .

$A = \frac{- 18}{3}$

$1 = A + B$

$- 11 = 3 A + C$

$A = \frac{- 18}{3}$

$1 = A + B$

$- 11 = 3 A + C$

$A = \frac{- 18}{3}$

$1 = A + B$

$- 11 = 3 A + C$

Schritt 3.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.2.3.1

Dividiere $- 18$ durch $3$ .

$A = - 6$

$1 = A + B$

$- 11 = 3 A + C$

$A = - 6$

$1 = A + B$

$- 11 = 3 A + C$

$A = - 6$

$1 = A + B$

$- 11 = 3 A + C$

$A = - 6$

$1 = A + B$

$- 11 = 3 A + C$

Schritt 3.2

Ersetze alle Vorkommen von $A$ durch $- 6$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Ersetze alle $A$ in $1 = A + B$ durch $- 6$ .

$1 = (- 6) + B$

$A = - 6$

$- 11 = 3 A + C$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Entferne die Klammern.

$1 = - 6 + B$

$A = - 6$

$- 11 = 3 A + C$

$1 = - 6 + B$

$A = - 6$

$- 11 = 3 A + C$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $A$ in $- 11 = 3 A + C$ durch $- 6$ .

$- 11 = 3 (- 6) + C$

$1 = - 6 + B$

$A = - 6$

Schritt 3.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 6$ .

$- 11 = - 18 + C$

$1 = - 6 + B$

$A = - 6$

$- 11 = - 18 + C$

$1 = - 6 + B$

$A = - 6$

$- 11 = - 18 + C$

$1 = - 6 + B$

$A = - 6$

Schritt 3.3

Löse in $- 11 = - 18 + C$ nach $C$ auf.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $- 18 + C = - 11$ um.

$- 18 + C = - 11$

$1 = - 6 + B$

$A = - 6$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $C$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Addiere $18$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$C = - 11 + 18$

$1 = - 6 + B$

$A = - 6$

Schritt 3.3.2.2

Addiere $- 11$ und $18$ .

$C = 7$

$1 = - 6 + B$

$A = - 6$

$C = 7$

$1 = - 6 + B$

$A = - 6$

$C = 7$

$1 = - 6 + B$

$A = - 6$

Schritt 3.4

Ersetze alle Vorkommen von $C$ durch $7$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Schreibe die Gleichung als $- 6 + B = 1$ um.

$- 6 + B = 1$

$C = 7$

$A = - 6$

Schritt 3.4.2

Bringe alle Terme, die nicht $B$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.4.2.1

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$B = 1 + 6$

$C = 7$

$A = - 6$

Schritt 3.4.2.2

Addiere $1$ und $6$ .

$B = 7$

$C = 7$

$A = - 6$

$B = 7$

$C = 7$

$A = - 6$

$B = 7$

$C = 7$

$A = - 6$

Schritt 3.5

Liste alle Lösungen auf.

$B = 7, C = 7, A = - 6$

Schritt 4

Ersetze jeden Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 3 x + 3}$ durch die Werte, die für $A$ , $B$ und $C$ ermittelt wurden.

$- \frac{6}{x} + \frac{7 x + 7}{x^{2} + 3 x + 3}$

Schritt 5

Mutltipliziere $7$ mit $x$ .

$\frac{- 6}{x} + \frac{7 x + 7}{x^{2} + 3 x + 3}$