Elementarmathematik Beispiele

Zerlege unter Anwendung der Partialbruchzerlegung (x^2)/(x^4-2x^2-8)
Schritt 1
Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1
Faktorisiere den Bruch.
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Schritt 1.1.1
Schreibe als um.
Schritt 1.1.2
Es sei . Ersetze für alle .
Schritt 1.1.3
Faktorisiere unter der Verwendung der AC-Methode.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.3.1
Betrachte die Form . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt und deren Summe ist. In diesem Fall, deren Produkt und deren Summe ist.
Schritt 1.1.3.2
Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.
Schritt 1.1.4
Ersetze alle durch .
Schritt 1.1.5
Schreibe als um.
Schritt 1.1.6
Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, , mit und .
Schritt 1.2
Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor im Nenner linear ist, setze eine einzelne Variable für den Zähler ein .
Schritt 1.3
Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor im Nenner linear ist, setze eine einzelne Variable für den Zähler ein .
Schritt 1.4
Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor von zweiter Ordnung ist, sind Terme im Zähler erforderlich. Die Anzahl der erforderlichen Terme im Zähler ist immer gleich der Ordnung des Faktors im Nenner.
Schritt 1.5
Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich .
Schritt 1.6
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 1.6.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.6.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.7
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 1.7.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.7.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.8
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 1.8.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.8.2
Dividiere durch .
Schritt 1.9
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 1.9.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.9.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.9.1.2
Dividiere durch .
Schritt 1.9.2
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.9.3
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 1.9.4
Multipliziere aus unter Verwendung der FOIL-Methode.
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Schritt 1.9.4.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.9.4.2
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.9.4.3
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.9.5
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 1.9.5.1
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.9.5.1.1
Bewege .
Schritt 1.9.5.1.2
Mutltipliziere mit .
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Schritt 1.9.5.1.2.1
Potenziere mit .
Schritt 1.9.5.1.2.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 1.9.5.1.3
Addiere und .
Schritt 1.9.5.2
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 1.9.5.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.9.6
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.9.6.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.9.6.2
Dividiere durch .
Schritt 1.9.7
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.9.8
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 1.9.9
Multipliziere aus unter Verwendung der FOIL-Methode.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.9.9.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.9.9.2
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.9.9.3
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.9.10
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 1.9.10.1
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.9.10.1.1
Bewege .
Schritt 1.9.10.1.2
Mutltipliziere mit .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.9.10.1.2.1
Potenziere mit .
Schritt 1.9.10.1.2.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 1.9.10.1.3
Addiere und .
Schritt 1.9.10.2
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 1.9.10.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.9.11
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.9.11.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.9.11.2
Dividiere durch .
Schritt 1.9.12
Multipliziere aus unter Verwendung der FOIL-Methode.
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Schritt 1.9.12.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.9.12.2
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.9.12.3
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.9.13
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.9.13.1
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
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Schritt 1.9.13.1.1
Bewege .
Schritt 1.9.13.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.9.13.2
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 1.9.13.3
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 1.9.14
Multipliziere aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.
Schritt 1.9.15
Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in .
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Schritt 1.9.15.1
Ordne die Faktoren in den Termen und neu an.
Schritt 1.9.15.2
Addiere und .
Schritt 1.9.15.3
Addiere und .
Schritt 1.9.16
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 1.9.16.1
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.9.16.1.1
Bewege .
Schritt 1.9.16.1.2
Mutltipliziere mit .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.9.16.1.2.1
Potenziere mit .
Schritt 1.9.16.1.2.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 1.9.16.1.3
Addiere und .
Schritt 1.9.16.2
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 1.9.16.3
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.9.16.3.1
Bewege .
Schritt 1.9.16.3.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.9.16.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.9.16.5
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.9.16.5.1
Bewege .
Schritt 1.9.16.5.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.9.16.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.9.17
Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.9.17.1
Addiere und .
Schritt 1.9.17.2
Addiere und .
Schritt 1.10
Vereinfache den Ausdruck.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.10.1
Bewege .
Schritt 1.10.2
Bewege .
Schritt 1.10.3
Stelle und um.
Schritt 1.10.4
Bewege .
Schritt 1.10.5
Bewege .
Schritt 1.10.6
Bewege .
Schritt 1.10.7
Bewege .
Schritt 1.10.8
Bewege .
Schritt 1.10.9
Bewege .
Schritt 1.10.10
Bewege .
Schritt 1.10.11
Bewege .
Schritt 1.10.12
Bewege .
Schritt 2
Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.
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Schritt 2.1
Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.
Schritt 2.2
Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.
Schritt 2.3
Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.
Schritt 2.4
Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.
Schritt 2.5
Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.
Schritt 3
Löse das Gleichungssystem.
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Schritt 3.1
Löse in nach auf.
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Schritt 3.1.1
Schreibe die Gleichung als um.
Schritt 3.1.2
Bringe alle Terme, die nicht enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.
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Schritt 3.1.2.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 3.1.2.2
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 3.2
Ersetze alle Vorkommen von durch in jeder Gleichung.
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Schritt 3.2.1
Ersetze alle in durch .
Schritt 3.2.2
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 3.2.2.1
Vereinfache .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.2.2.1.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.2.2.1.1.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 3.2.2.1.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.2.2.1.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.2.2.1.2
Addiere und .
Schritt 3.2.3
Ersetze alle in durch .
Schritt 3.2.4
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.2.4.1
Vereinfache .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.2.4.1.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.2.4.1.1.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 3.2.4.1.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.2.4.1.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.2.4.1.2
Vereinfache durch Addieren von Termen.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.2.4.1.2.1
Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.2.4.1.2.1.1
Addiere und .
Schritt 3.2.4.1.2.1.2
Addiere und .
Schritt 3.2.4.1.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 3.2.5
Ersetze alle in durch .
Schritt 3.2.6
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.2.6.1
Vereinfache .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.2.6.1.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.2.6.1.1.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 3.2.6.1.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.2.6.1.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.2.6.1.2
Addiere und .
Schritt 3.3
Löse in nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.3.1
Schreibe die Gleichung als um.
Schritt 3.3.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.3.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 3.3.2.2
Vereinfache die linke Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.3.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.3.2.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 3.3.2.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 3.3.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.3.2.3.1
Dividiere durch .
Schritt 3.4
Ersetze alle Vorkommen von durch in jeder Gleichung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.4.1
Ersetze alle in durch .
Schritt 3.4.2
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.4.2.1
Vereinfache .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.4.2.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.4.2.1.2
Addiere und .
Schritt 3.4.3
Ersetze alle in durch .
Schritt 3.4.4
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.4.4.1
Vereinfache .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.4.4.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.4.4.1.2
Addiere und .
Schritt 3.4.5
Ersetze alle in durch .
Schritt 3.4.6
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.4.6.1
Subtrahiere von .
Schritt 3.5
Löse in nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.5.1
Schreibe die Gleichung als um.
Schritt 3.5.2
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 3.6
Ersetze alle Vorkommen von durch in jeder Gleichung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.6.1
Ersetze alle in durch .
Schritt 3.6.2
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.6.2.1
Vereinfache .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.6.2.1.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.6.2.1.1.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 3.6.2.1.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.6.2.1.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.6.2.1.2
Addiere und .
Schritt 3.7
Löse in nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.7.1
Schreibe die Gleichung als um.
Schritt 3.7.2
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 3.7.3
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.7.3.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 3.7.3.2
Vereinfache die linke Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.7.3.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.7.3.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 3.7.3.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 3.7.3.3
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.7.3.3.1
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.7.3.3.1.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.7.3.3.1.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.7.3.3.1.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.7.3.3.1.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 3.7.3.3.1.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 3.8
Ersetze alle Vorkommen von durch in jeder Gleichung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.8.1
Ersetze alle in durch .
Schritt 3.8.2
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.8.2.1
Vereinfache .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.8.2.1.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.8.2.1.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.8.2.1.1.1.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.8.2.1.1.1.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.8.2.1.1.1.3
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 3.8.2.1.1.1.4
Forme den Ausdruck um.
Schritt 3.8.2.1.1.2
Kombiniere und .
Schritt 3.8.2.1.1.3
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 3.8.2.1.2
Vereinfache den Ausdruck.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.8.2.1.2.1
Schreibe als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.
Schritt 3.8.2.1.2.2
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 3.8.2.1.2.3
Subtrahiere von .
Schritt 3.8.3
Ersetze alle in durch .
Schritt 3.8.4
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.8.4.1
Multipliziere mit .
Schritt 3.9
Liste alle Lösungen auf.
Schritt 4
Ersetze jeden der Teilbruchkoeffizienten in durch die Werte, die für , , und ermittelt wurden.
Schritt 5
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.2
Addiere und .