Elementarmathematik Beispiele

$\frac{\cos (a + b)}{\cos (a) \sin (b)} = \cot (b) - \tan (a)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\frac{\cos (a + b)}{\cos (a) \sin (b)}$

Schritt 2

Wende das Additionstheorem der Trigonometrie $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ an.

$\frac{\cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (b)}{\cos (a) \sin (b)}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sin (a) \sin (b)$ heraus.

$\frac{- (\sin (a) \sin (b)) + \cos (a) \cos (b)}{\cos (a) \sin (b)}$

Schritt 3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $\cos (a) \cos (b)$ heraus.

$\frac{- (\sin (a) \sin (b)) - (- \cos (a) \cos (b))}{\cos (a) \sin (b)}$

Schritt 3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\sin (a) \sin (b)) - (- \cos (a) \cos (b))$ heraus.

$\frac{- (\sin (a) \sin (b) - \cos (a) \cos (b))}{\cos (a) \sin (b)}$

Schritt 3.4

Schreibe $- (\sin (a) \sin (b) - \cos (a) \cos (b))$ als $- 1 (\sin (a) \sin (b) - \cos (a) \cos (b))$ um.

$\frac{- 1 (\sin (a) \sin (b) - \cos (a) \cos (b))}{\cos (a) \sin (b)}$

Schritt 3.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{\sin (a) \sin (b) - \cos (a) \cos (b)}{\cos (a) \sin (b)}$

Schritt 4

Nun betrachte die rechte Seite der Gleichung.

$\cot (b) - \tan (a)$

Schritt 5

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 5.1

Schreibe $\cot (b)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{\cos (b)}{\sin (b)} - \tan (a)$

Schritt 5.2

Schreibe $\tan (a)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{\cos (b)}{\sin (b)} - \frac{\sin (a)}{\cos (a)}$

Schritt 6

Subtrahiere Brüche.

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Schritt 6.1

Um $\frac{\cos (b)}{\sin (b)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos (a)}{\cos (a)}$ .

$\frac{\cos (b)}{\sin (b)} \cdot \frac{\cos (a)}{\cos (a)} - \frac{\sin (a)}{\cos (a)}$

Schritt 6.2

Um $- \frac{\sin (a)}{\cos (a)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sin (b)}{\sin (b)}$ .

$\frac{\cos (b)}{\sin (b)} \cdot \frac{\cos (a)}{\cos (a)} - \frac{\sin (a)}{\cos (a)} \cdot \frac{\sin (b)}{\sin (b)}$

Schritt 6.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $\sin (b) \cos (a)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $\frac{\cos (b)}{\sin (b)}$ mit $\frac{\cos (a)}{\cos (a)}$ .

$\frac{\cos (b) \cos (a)}{\sin (b) \cos (a)} - \frac{\sin (a)}{\cos (a)} \cdot \frac{\sin (b)}{\sin (b)}$

Schritt 6.3.2

Mutltipliziere $\frac{\sin (a)}{\cos (a)}$ mit $\frac{\sin (b)}{\sin (b)}$ .

$\frac{\cos (b) \cos (a)}{\sin (b) \cos (a)} - \frac{\sin (a) \sin (b)}{\cos (a) \sin (b)}$

Schritt 6.3.3

Stelle die Faktoren von $\sin (b) \cos (a)$ um.

$\frac{\cos (b) \cos (a)}{\cos (a) \sin (b)} - \frac{\sin (a) \sin (b)}{\cos (a) \sin (b)}$

Schritt 6.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\cos (b) \cos (a) - \sin (a) \sin (b)}{\cos (a) \sin (b)}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sin (a) \sin (b)$ heraus.

$\frac{- (\sin (a) \sin (b)) + \cos (a) \cos (b)}{\cos (a) \sin (b)}$

Schritt 7.2

Faktorisiere $- 1$ aus $\cos (a) \cos (b)$ heraus.

$\frac{- (\sin (a) \sin (b)) - (- \cos (a) \cos (b))}{\cos (a) \sin (b)}$

Schritt 7.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\sin (a) \sin (b)) - (- \cos (a) \cos (b))$ heraus.

$\frac{- (\sin (a) \sin (b) - \cos (a) \cos (b))}{\cos (a) \sin (b)}$

Schritt 7.4

Schreibe $- (\sin (a) \sin (b) - \cos (a) \cos (b))$ als $- 1 (\sin (a) \sin (b) - \cos (a) \cos (b))$ um.

$\frac{- 1 (\sin (a) \sin (b) - \cos (a) \cos (b))}{\cos (a) \sin (b)}$

Schritt 7.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{\sin (a) \sin (b) - \cos (a) \cos (b)}{\cos (a) \sin (b)}$

Schritt 8

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{\cos (a + b)}{\cos (a) \sin (b)} = \cot (b) - \tan (a)$ ist eine Identitätsgleichung