Elementarmathematik Beispiele

${(\sin (x) - \cos (x))}^{2}$

Schritt 1

Wende den binomischen Lehrsatz an, um jeden Term zu bestimmen. Der binomische Lehrsatz sagt ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{2} \frac{2!}{(2 - k)! k!} \cdot {(\sin (x))}^{2 - k} \cdot {(- \cos (x))}^{k}$

Schritt 2

Multipliziere die Summe aus.

$\frac{2!}{(2 - 0)! 0!} \cdot {(\sin (x))}^{2 - 0} \cdot {(- \cos (x))}^{0} + \frac{2!}{(2 - 1)! 1!} \cdot {(\sin (x))}^{2 - 1} \cdot {(- \cos (x))}^{1} + \frac{2!}{(2 - 2)! 2!} \cdot {(\sin (x))}^{2 - 2} \cdot {(- \cos (x))}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache die Exponenten für jeden Term der Expansion.

$1 \cdot \sin^{2} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{0} + 2 \cdot \sin^{1} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{1} + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{2}$

Schritt 4

Vereinfache das Ergebnis des Polynoms.

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Schritt 4.1

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1.1

Mutltipliziere $\sin^{2} (x)$ mit $1$ .

$\sin^{2} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{0} + 2 \cdot \sin^{1} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{1} + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{2}$

Schritt 4.1.1.2

Wende die Produktregel auf $- \cos (x)$ an.

$\sin^{2} (x) \cdot ({(- 1)}^{0} \cos^{0} (x)) + 2 \cdot \sin^{1} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{1} + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{2}$

Schritt 4.1.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

${(- 1)}^{0} \sin^{2} (x) \cos^{0} (x) + 2 \cdot \sin^{1} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{1} + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{2}$

Schritt 4.1.1.4

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$1 \sin^{2} (x) \cos^{0} (x) + 2 \cdot \sin^{1} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{1} + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{2}$

Schritt 4.1.1.5

Mutltipliziere $\sin^{2} (x)$ mit $1$ .

$\sin^{2} (x) \cos^{0} (x) + 2 \cdot \sin^{1} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{1} + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{2}$

Schritt 4.1.1.6

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\sin^{2} (x) \cdot 1 + 2 \cdot \sin^{1} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{1} + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{2}$

Schritt 4.1.1.7

Mutltipliziere $\sin^{2} (x)$ mit $1$ .

$\sin^{2} (x) + 2 \cdot \sin^{1} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{1} + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{2}$

Schritt 4.1.1.8

Vereinfache.

$\sin^{2} (x) + 2 \cdot \sin (x) \cdot {(- \cos (x))}^{1} + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{2}$

Schritt 4.1.1.9

Vereinfache.

$\sin^{2} (x) + 2 \sin (x) \cdot (- \cos (x)) + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{2}$

Schritt 4.1.1.10

Stelle $2 \sin (x)$ und $- \cos (x)$ um.

$\sin^{2} (x) - \cos (x) \cdot (2 \sin (x)) + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{2}$

Schritt 4.1.1.11

Füge Klammern hinzu.

$\sin^{2} (x) - (\cos (x) \cdot (2 \sin (x))) + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{2}$

Schritt 4.1.1.12

Stelle $\cos (x)$ und $2 \sin (x)$ um.

$\sin^{2} (x) - (2 \sin (x) \cdot \cos (x)) + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{2}$

Schritt 4.1.1.13

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$\sin^{2} (x) - \sin (2 x) + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{2}$

Schritt 4.1.1.14

Mutltipliziere $\sin^{0} (x)$ mit $1$ .

$\sin^{2} (x) - \sin (2 x) + \sin^{0} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{2}$

Schritt 4.1.1.15

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\sin^{2} (x) - \sin (2 x) + 1 \cdot {(- \cos (x))}^{2}$

Schritt 4.1.1.16

Mutltipliziere ${(- \cos (x))}^{2}$ mit $1$ .

$\sin^{2} (x) - \sin (2 x) + {(- \cos (x))}^{2}$

Schritt 4.1.1.17

Wende die Produktregel auf $- \cos (x)$ an.

$\sin^{2} (x) - \sin (2 x) + {(- 1)}^{2} \cos^{2} (x)$

Schritt 4.1.1.18

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\sin^{2} (x) - \sin (2 x) + 1 \cos^{2} (x)$

Schritt 4.1.1.19

Mutltipliziere $\cos^{2} (x)$ mit $1$ .

$\sin^{2} (x) - \sin (2 x) + \cos^{2} (x)$

Schritt 4.1.2

Bewege $\cos^{2} (x)$ .

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - \sin (2 x)$

Schritt 4.2

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$1 - \sin (2 x)$