Elementarmathematik Beispiele

$\log_{4} (\frac{1}{\sqrt[3]{16}})$

Schritt 1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1

Schreibe $16$ als $2^{3} \cdot 2$ um.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $8$ aus $16$ heraus.

$\log_{4} (\frac{1}{\sqrt[3]{8 (2)}})$

Schritt 1.1.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$\log_{4} (\frac{1}{\sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}})$

Schritt 1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\log_{4} (\frac{1}{2 \sqrt[3]{2}})$

Schritt 2

Mutltipliziere $\frac{1}{2 \sqrt[3]{2}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$\log_{4} (\frac{1}{2 \sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}})$

Schritt 3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2 \sqrt[3]{2}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$\log_{4} (\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2 \sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}})$

Schritt 3.2

Bewege $\sqrt[3]{2}$ .

$\log_{4} (\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2 (\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2})})$

Schritt 3.3

Potenziere $\sqrt[3]{2}$ mit $1$ .

$\log_{4} (\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2 ({\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2})})$

Schritt 3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\log_{4} (\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2 {\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}})$

Schritt 3.5

Addiere $1$ und $2$ .

$\log_{4} (\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2 {\sqrt[3]{2}}^{3}})$

Schritt 3.6

Schreibe ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ als $2$ um.

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Schritt 3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{2}$ als $2^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\log_{4} (\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2 {(2^{\frac{1}{3}})}^{3}})$

Schritt 3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{4} (\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{3} \cdot 3}})$

Schritt 3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$\log_{4} (\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2 \cdot 2^{\frac{3}{3}}})$

Schritt 3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{4} (\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2 \cdot 2^{\frac{3}{3}}})$

Schritt 3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\log_{4} (\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2 \cdot 2^{1}})$

Schritt 3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\log_{4} (\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2 \cdot 2})$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Schreibe ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ als $\sqrt[3]{2^{2}}$ um.

$\log_{4} (\frac{\sqrt[3]{2^{2}}}{2 \cdot 2})$

Schritt 4.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\log_{4} (\frac{\sqrt[3]{4}}{2 \cdot 2})$

Schritt 5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\log_{4} (\frac{\sqrt[3]{4}}{4})$

Schritt 6

Schreibe $\frac{\sqrt[3]{4}}{4}$ als $\sqrt[3]{4} \cdot 4^{- 1}$ um.

$\log_{4} (\sqrt[3]{4} \cdot 4^{- 1})$

Schritt 7

Schreibe $\log_{4} (\sqrt[3]{4} \cdot 4^{- 1})$ als $\log_{4} (\sqrt[3]{4}) + \log_{4} (4^{- 1})$ um.

$\log_{4} (\sqrt[3]{4}) + \log_{4} (4^{- 1})$

Schritt 8

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $- 1$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$\log_{4} (\sqrt[3]{4}) - \log_{4} (4)$

Schritt 9

Die logarithmische Basis $4$ von $4$ ist $1$ .

$\log_{4} (\sqrt[3]{4}) - 1 \cdot 1$

Schritt 10

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\log_{4} (\sqrt[3]{4}) - 1$

Schritt 11

Schreibe $\log_{4} (\sqrt[3]{4})$ um unter Verwendung der Formel zur Basisumrechnung.

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Schritt 11.1

Die Regel zur Basisumrechung kann genutzt werden, wenn $a$ und $b$ größer als $0$ und nicht gleich $1$ sind und $x$ größer als $0$ ist.

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} - 1$

Schritt 11.2

Setze Werte für die Variablen in die Formel zur Basisumrechnung ein, unter Verwendung von $b = 10$ .

$\frac{\log (\sqrt[3]{4})}{\log (4)} - 1$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\log (\sqrt[3]{4})}{\log (4)} - 1$

Dezimalform:

$- 0.\overline{6}$