Elementarmathematik Beispiele

$- \frac{1}{3}$ , $\frac{1}{6}$ , $- \frac{1}{12}$

Schritt 1

Dies ist eine geometrische Folge, da es zwischen aufeinanderfolgenden Termen ein gemeinsames Verhältnis gibt. In diesem Fall ergibt die Multiplikation des vorhergehenden Terms in der Folge mit $- \frac{1}{2}$ den nächsten Term. Mit anderen Worten: $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Geometrische Folge: $r = - \frac{1}{2}$

Schritt 2

Dies ist die Form einer geometrischen Folge.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Schritt 3

Setze die Werte von $a_{1} = - \frac{1}{3}$ und $r = - \frac{1}{2}$ ein.

$a_{n} = - \frac{1}{3} {(- \frac{1}{2})}^{n - 1}$

Schritt 4

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{2}$ an.

$a_{n} = - \frac{1}{3} ({(- 1)}^{n - 1} {(\frac{1}{2})}^{n - 1})$

Schritt 4.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$a_{n} = - \frac{1}{3} ({(- 1)}^{n - 1} \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}})$

Schritt 5

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{n - 1}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1

Bewege ${(- 1)}^{n - 1}$ .

$a_{n} = {(- 1)}^{n - 1} \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere ${(- 1)}^{n - 1}$ mit $- 1$ .

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Schritt 5.2.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

$a_{n} = {(- 1)}^{n - 1} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{1}{3} \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}}$

Schritt 5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$a_{n} = {(- 1)}^{n - 1 + 1} \frac{1}{3} \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}}$

Schritt 5.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $n - 1 + 1$ .

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Schritt 5.3.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$a_{n} = {(- 1)}^{n + 0} \frac{1}{3} \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}}$

Schritt 5.3.2

Addiere $n$ und $0$ .

$a_{n} = {(- 1)}^{n} \frac{1}{3} \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}}$

Schritt 6

Kombiniere ${(- 1)}^{n}$ und $\frac{1}{3}$ .

$a_{n} = \frac{{(- 1)}^{n}}{3} \cdot \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}}$

Schritt 7

Kombinieren.

$a_{n} = \frac{{(- 1)}^{n} \cdot 1^{n - 1}}{3 \cdot 2^{n - 1}}$

Schritt 8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1

Faktorisiere $- 1$ aus ${(- 1)}^{n}$ heraus.

$a_{n} = \frac{- {(- 1)}^{n - 1} \cdot 1^{n - 1}}{3 \cdot 2^{n - 1}}$

Schritt 8.2

Schreibe $- {(- 1)}^{n - 1}$ als $- 1 {(- 1)}^{n - 1}$ um.

$a_{n} = \frac{- 1 {(- 1)}^{n - 1} \cdot 1^{n - 1}}{3 \cdot 2^{n - 1}}$

Schritt 8.3

Schreibe $1^{n - 1} {(- 1)}^{n - 1}$ als ${(1 \cdot - 1)}^{n - 1}$ um.

$a_{n} = \frac{- 1 {(1 \cdot - 1)}^{n - 1}}{3 \cdot 2^{n - 1}}$

Schritt 9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$a_{n} = \frac{- 1 {(- 1)}^{n - 1}}{3 \cdot 2^{n - 1}}$

Schritt 10

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{n - 1}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{n - 1}$ .

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Schritt 10.1.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

$a_{n} = \frac{{(- 1)}^{1} {(- 1)}^{n - 1}}{3 \cdot 2^{n - 1}}$

Schritt 10.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$a_{n} = \frac{{(- 1)}^{1 + n - 1}}{3 \cdot 2^{n - 1}}$

Schritt 10.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $1 + n - 1$ .

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Schritt 10.2.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$a_{n} = \frac{{(- 1)}^{n + 0}}{3 \cdot 2^{n - 1}}$

Schritt 10.2.2

Addiere $n$ und $0$ .

$a_{n} = \frac{{(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}}$