Elementarmathematik Beispiele

$(\tan (x) - 1) (\sec (x) - 1) = 0$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Multipliziere $(\tan (x) - 1) (\sec (x) - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\tan (x) (\sec (x) - 1) - 1 (\sec (x) - 1) = 0$

Schritt 1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\tan (x) \sec (x) + \tan (x) \cdot - 1 - 1 (\sec (x) - 1) = 0$

Schritt 1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\tan (x) \sec (x) + \tan (x) \cdot - 1 - 1 \sec (x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Schritt 1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $\tan (x)$ .

$\tan (x) \sec (x) - 1 \cdot \tan (x) - 1 \sec (x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Schritt 1.2.2

Schreibe $- 1 \tan (x)$ als $- \tan (x)$ um.

$\tan (x) \sec (x) - \tan (x) - 1 \sec (x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Schritt 1.2.3

Schreibe $- 1 \sec (x)$ als $- \sec (x)$ um.

$\tan (x) \sec (x) - \tan (x) - \sec (x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Schritt 1.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\tan (x) \sec (x) - \tan (x) - \sec (x) + 1 = 0$

Schritt 2

Faktorisiere $\tan (x) \sec (x) - \tan (x) - \sec (x) + 1$ .

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Schritt 2.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\tan (x) \sec (x) - \tan (x) - \sec (x) + 1 = 0$

Schritt 2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\tan (x) (\sec (x) - 1) - (\sec (x) - 1) = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $\sec (x) - 1$ .

$(\sec (x) - 1) (\tan (x) - 1) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\sec (x) - 1 = 0$

$\tan (x) - 1 = 0$

Schritt 4

Setze $\sec (x) - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $\sec (x) - 1$ gleich $0$ .

$\sec (x) - 1 = 0$

Schritt 4.2

Löse $\sec (x) - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sec (x) = 1$

Schritt 4.2.2

Bilde den inversen Sekans von beiden Seiten der Gleichung, um $x$ aus dem Sekans zu ziehen.

$x = arcsec (1)$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Der genau Wert von $arcsec (1)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 4.2.4

DIe Sekans-Funktion ist im ersten und vierten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - 0$

Schritt 4.2.5

Subtrahiere $0$ von $2 π$ .

$x = 2 π$

Schritt 4.2.6

Ermittele die Periode von $\sec (x)$ .

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Schritt 4.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 4.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 4.2.6.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 4.2.7

Die Periode der Funktion $\sec (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 5

Setze $\tan (x) - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $\tan (x) - 1$ gleich $0$ .

$\tan (x) - 1 = 0$

Schritt 5.2

Löse $\tan (x) - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\tan (x) = 1$

Schritt 5.2.2

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (1)$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Der genau Wert von $\arctan (1)$ ist $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 5.2.4

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$x = π + \frac{π}{4}$

Schritt 5.2.5

Vereinfache $π + \frac{π}{4}$ .

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Schritt 5.2.5.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 5.2.5.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.2.5.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 5.2.5.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Schritt 5.2.5.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.5.3.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Schritt 5.2.5.3.2

Addiere $4 π$ und $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Schritt 5.2.6

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 5.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 5.2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 5.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 5.2.6.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 5.2.7

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(\sec (x) - 1) (\tan (x) - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 7

Fasse die Ergebnisse zusammen.

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Schritt 7.1

Führe $2 π n$ und $2 π + 2 π n$ zu $2 π n$ zusammen.

$x = 2 π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 7.2

Führe $\frac{π}{4} + π n$ und $\frac{5 π}{4} + π n$ zu $\frac{π}{4} + π n$ zusammen.

$x = 2 π n, \frac{π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$