Elementarmathematik Beispiele

$\log (x - 2) + \log (x + 5) = 2 \log (3)$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((x - 2) (x + 5)) = 2 \log (3)$

Schritt 1.2

Multipliziere $(x - 2) (x + 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\log (x (x + 5) - 2 (x + 5)) = 2 \log (3)$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\log (x \cdot x + x \cdot 5 - 2 (x + 5)) = 2 \log (3)$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\log (x \cdot x + x \cdot 5 - 2 x - 2 \cdot 5) = 2 \log (3)$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\log (x^{2} + x \cdot 5 - 2 x - 2 \cdot 5) = 2 \log (3)$

Schritt 1.3.1.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$\log (x^{2} + 5 \cdot x - 2 x - 2 \cdot 5) = 2 \log (3)$

Schritt 1.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $5$ .

$\log (x^{2} + 5 x - 2 x - 10) = 2 \log (3)$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $2 x$ von $5 x$ .

$\log (x^{2} + 3 x - 10) = 2 \log (3)$

Schritt 2

Vereinfache $2 \log (3)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\log (x^{2} + 3 x - 10) = \log (3^{2})$

Schritt 3

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$x^{2} + 3 x - 10 = 3^{2}$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x^{2} + 3 x - 10 = 9$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 3 x - 10 - 9 = 0$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $9$ von $- 10$ .

$x^{2} + 3 x - 19 = 0$

Schritt 4.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.4

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 3$ und $c = - 19$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 19)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5

Vereinfache.

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Schritt 4.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 19}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 19$ .

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Schritt 4.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 19}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 19$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 76}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.3

Addiere $9$ und $76$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{85}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{85}}{2}$

Schritt 4.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{3 - \sqrt{85}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{85}}{2}$

Schritt 5

Schließe die Lösungen aus, die $\log (x - 2) + \log (x + 5) = 2 \log (3)$ nicht erfüllen.

$x = - \frac{3 - \sqrt{85}}{2}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{3 - \sqrt{85}}{2}$

Dezimalform:

$x = 3.10977222 \dots$