Elementarmathematik Beispiele

$\cot (x) \cos^{2} (x) = 2 \cot (x)$

Schritt 1

Subtrahiere $2 \cot (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\cot (x) \cos^{2} (x) - 2 \cot (x) = 0$

Schritt 2

Vereinfache die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \cos^{2} (x) - 2 \cot (x) = 0$

Schritt 2.1.2

Multipliziere $\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos^{2} (x)$ .

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Schritt 2.1.2.1

Kombiniere $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ und $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - 2 \cot (x) = 0$

Schritt 2.1.2.2

Multipliziere $\cos (x)$ mit $\cos^{2} (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.2.2.1

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $\cos^{2} (x)$ .

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Schritt 2.1.2.2.1.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos (x) \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - 2 \cot (x) = 0$

Schritt 2.1.2.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 2}}{\sin (x)} - 2 \cot (x) = 0$

Schritt 2.1.2.2.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{\cos^{3} (x)}{\sin (x)} - 2 \cot (x) = 0$

Schritt 2.1.3

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\cos^{3} (x)}{\sin (x)} - 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = 0$

Schritt 2.1.4

Kombiniere $- 2$ und $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos^{3} (x)}{\sin (x)} + \frac{- 2 \cos (x)}{\sin (x)} = 0$

Schritt 2.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\cos^{3} (x)}{\sin (x)} - \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} = 0$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos^{3} (x)$ heraus.

$\frac{\cos (x) \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} = 0$

Schritt 2.2.2

Separiere Brüche.

$\frac{\cos^{2} (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} = 0$

Schritt 2.2.3

Wandle von $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ nach $\cot (x)$ um.

$\frac{\cos^{2} (x)}{1} \cdot \cot (x) - \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} = 0$

Schritt 2.2.4

Dividiere $\cos^{2} (x)$ durch $1$ .

$\cos^{2} (x) \cot (x) - \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} = 0$

Schritt 2.2.5

Separiere Brüche.

$\cos^{2} (x) \cot (x) - (\frac{2}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) = 0$

Schritt 2.2.6

Wandle von $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ nach $\cot (x)$ um.

$\cos^{2} (x) \cot (x) - (\frac{2}{1} \cdot \cot (x)) = 0$

Schritt 2.2.7

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\cos^{2} (x) \cot (x) - (2 \cot (x)) = 0$

Schritt 2.2.8

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\cos^{2} (x) \cot (x) - 2 \cot (x) = 0$

Schritt 3

Faktorisiere $\cot (x)$ aus $\cos^{2} (x) \cot (x) - 2 \cot (x)$ heraus.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $\cot (x)$ aus $\cos^{2} (x) \cot (x)$ heraus.

$\cot (x) \cos^{2} (x) - 2 \cot (x) = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere $\cot (x)$ aus $- 2 \cot (x)$ heraus.

$\cot (x) \cos^{2} (x) + \cot (x) \cdot - 2 = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere $\cot (x)$ aus $\cot (x) \cos^{2} (x) + \cot (x) \cdot - 2$ heraus.

$\cot (x) (\cos^{2} (x) - 2) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\cot (x) = 0$

$\cos^{2} (x) - 2 = 0$

Schritt 5

Setze $\cot (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $\cot (x)$ gleich $0$ .

$\cot (x) = 0$

Schritt 5.2

Löse $\cot (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Wende den inversen Kotangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kotangens herauszuziehen.

$x = arccot (0)$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Der genau Wert von $arccot (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 5.2.3

Die Kotangens-Funktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu ermitteln, addiere den Referenzwinkel aus $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu bestimmen.

$x = π + \frac{π}{2}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache $π + \frac{π}{2}$ .

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Schritt 5.2.4.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Schritt 5.2.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.2.4.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Schritt 5.2.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Schritt 5.2.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.4.3.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Schritt 5.2.4.3.2

Addiere $2 π$ und $π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 5.2.5

Ermittele die Periode von $\cot (x)$ .

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Schritt 5.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 5.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 5.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 5.2.5.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 5.2.6

Die Periode der Funktion $\cot (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 6

Setze $\cos^{2} (x) - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $\cos^{2} (x) - 2$ gleich $0$ .

$\cos^{2} (x) - 2 = 0$

Schritt 6.2

Löse $\cos^{2} (x) - 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\cos^{2} (x) = 2$

Schritt 6.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{2}$

Schritt 6.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\cos (x) = \sqrt{2}$

Schritt 6.2.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\cos (x) = - \sqrt{2}$

Schritt 6.2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\cos (x) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Schritt 6.2.4

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\cos (x) = \sqrt{2}$

$\cos (x) = - \sqrt{2}$

Schritt 6.2.5

Löse in $\cos (x) = \sqrt{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.5.1

Der Wertebereich des Cosinus ist $- 1 \leq y \leq 1$ . Da $\sqrt{2}$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 6.2.6

Löse in $\cos (x) = - \sqrt{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.6.1

Der Wertebereich des Cosinus ist $- 1 \leq y \leq 1$ . Da $- \sqrt{2}$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $\cot (x) (\cos^{2} (x) - 2) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 8

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$