Elementarmathematik Beispiele

$\cot (\frac{x}{2}) = 0$

Schritt 1

Wende den inversen Kotangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kotangens herauszuziehen.

$\frac{x}{2} = arccot (0)$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Der genau Wert von $arccot (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$

Schritt 3

Da der Ausdruck auf jeder Seite der Gleichung den gleichen Nenner hat, müssen die Zähler gleich sein.

$x = π$

Schritt 4

Die Kotangens-Funktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu ermitteln, addiere den Referenzwinkel aus $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu bestimmen.

$\frac{x}{2} = π + \frac{π}{2}$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (π + \frac{π}{2})$

Schritt 5.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π + \frac{π}{2})$

Schritt 5.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 (π + \frac{π}{2})$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache $2 (π + \frac{π}{2})$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2})$

Schritt 5.2.2.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.2.1.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (\frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2})$

Schritt 5.2.2.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = 2 \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Schritt 5.2.2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.2.1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 2 \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Schritt 5.2.2.1.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$x = π \cdot 2 + π$

Schritt 5.2.2.1.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = 2 π + π$

Schritt 5.2.2.1.4

Addiere $2 π$ und $π$ .

$x = 3 π$

Schritt 6

Ermittele die Periode von $\cot (\frac{x}{2})$ .

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Schritt 6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 6.2

Ersetze $b$ durch $\frac{1}{2}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| \frac{1}{2} |}$

Schritt 6.3

$\frac{1}{2}$ ist ungefähr $0.5$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{π}{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$π \cdot 2$

Schritt 6.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$2 π$

Schritt 7

Die Periode der Funktion $\cot (\frac{x}{2})$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = π + 2 π n, 3 π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 8

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$