Elementarmathematik Beispiele

$\csc^{3} (x) - \csc^{2} (x) - \csc (x) + 1$

Schritt 1

Gruppiere die Terme um.

$\csc^{3} (x) + 1 - \csc^{2} (x) - \csc (x)$

Schritt 2

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$\csc^{3} (x) + 1^{3} - \csc^{2} (x) - \csc (x)$

Schritt 3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = \csc (x)$ und $b = 1$ .

$(\csc (x) + 1) (\csc^{2} (x) - \csc (x) \cdot 1 + 1^{2}) - \csc^{2} (x) - \csc (x)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$(\csc (x) + 1) (\csc^{2} (x) - \csc (x) + 1^{2}) - \csc^{2} (x) - \csc (x)$

Schritt 4.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(\csc (x) + 1) (\csc^{2} (x) - \csc (x) + 1) - \csc^{2} (x) - \csc (x)$

Schritt 5

Faktorisiere $\csc (x)$ aus $- \csc^{2} (x) - \csc (x)$ heraus.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $\csc (x)$ aus $- \csc^{2} (x)$ heraus.

$(\csc (x) + 1) (\csc^{2} (x) - \csc (x) + 1) + \csc (x) (- \csc (x)) - \csc (x)$

Schritt 5.2

Faktorisiere $\csc (x)$ aus $- \csc (x)$ heraus.

$(\csc (x) + 1) (\csc^{2} (x) - \csc (x) + 1) + \csc (x) (- \csc (x)) + \csc (x) \cdot - 1$

Schritt 5.3

Faktorisiere $\csc (x)$ aus $\csc (x) (- \csc (x)) + \csc (x) \cdot - 1$ heraus.

$(\csc (x) + 1) (\csc^{2} (x) - \csc (x) + 1) + \csc (x) (- \csc (x) - 1)$

Schritt 6

Faktorisiere.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \csc (x) - 1$ heraus.

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \csc (x)$ heraus.

$(\csc (x) + 1) (\csc^{2} (x) - \csc (x) + 1) + \csc (x) (- (\csc (x)) - 1)$

Schritt 6.1.2

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$(\csc (x) + 1) (\csc^{2} (x) - \csc (x) + 1) + \csc (x) (- (\csc (x)) - 1 (1))$

Schritt 6.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\csc (x)) - 1 (1)$ heraus.

$(\csc (x) + 1) (\csc^{2} (x) - \csc (x) + 1) + \csc (x) (- (\csc (x) + 1))$

Schritt 6.2

Entferne unnötige Klammern.

$(\csc (x) + 1) (\csc^{2} (x) - \csc (x) + 1) + \csc (x) \cdot - 1 (\csc (x) + 1)$

Schritt 7

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$(\csc (x) + 1) (\csc^{2} (x) - \csc (x) + 1) - (\csc (x) (\csc (x) + 1))$

Schritt 8

Entferne die Klammern.

$(\csc (x) + 1) (\csc^{2} (x) - \csc (x) + 1) - \csc (x) (\csc (x) + 1)$

Schritt 9

Faktorisiere $\csc (x) + 1$ aus $(\csc (x) + 1) (\csc^{2} (x) - \csc (x) + 1) - \csc (x) (\csc (x) + 1)$ heraus.

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Schritt 9.1

Faktorisiere $\csc (x) + 1$ aus $- \csc (x) (\csc (x) + 1)$ heraus.

$(\csc (x) + 1) (\csc^{2} (x) - \csc (x) + 1) + (\csc (x) + 1) (- \csc (x))$

Schritt 9.2

Faktorisiere $\csc (x) + 1$ aus $(\csc (x) + 1) (\csc^{2} (x) - \csc (x) + 1) + (\csc (x) + 1) (- \csc (x))$ heraus.

$(\csc (x) + 1) (\csc^{2} (x) - \csc (x) + 1 - \csc (x))$

Schritt 10

Subtrahiere $\csc (x)$ von $- \csc (x)$ .

$(\csc (x) + 1) (\csc^{2} (x) + 1 - 2 \csc (x))$

Schritt 11

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 11.1

Ordne Terme um.

$(\csc (x) + 1) (\csc^{2} (x) - 2 \csc (x) + 1)$

Schritt 11.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$(\csc (x) + 1) (\csc^{2} (x) - 2 \csc (x) + 1^{2})$

Schritt 11.3

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 \csc (x) = 2 \cdot \csc (x) \cdot 1$

Schritt 11.4

Schreibe das Polynom neu.

$(\csc (x) + 1) (\csc^{2} (x) - 2 \cdot \csc (x) \cdot 1 + 1^{2})$

Schritt 11.5

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = \csc (x)$ und $b = 1$ .

$(\csc (x) + 1) {(\csc (x) - 1)}^{2}$