Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} = \frac{3}{4} x - \frac{1}{8}$

Schritt 1

Bringe die Gleichung durch Vereinfachen in eine geeignete Form, um die quadratische Ergänzung anzuwenden.

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Schritt 1.1

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $x$ .

$x^{2} = \frac{3 x}{4} - \frac{1}{8}$

Schritt 1.2

Subtrahiere $\frac{3 x}{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - \frac{3 x}{4} = - \frac{1}{8}$

Schritt 2

Um auf der linken Seite ein Quadrat-Trinom zu bilden, ermittele einen Wert der gleich dem Quadrat der Hälfte von $b$ ist.

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(- \frac{3}{8})}^{2}$

Schritt 3

Addiere den Ausdruck zu jeder Seite der Gleichung.

$x^{2} - \frac{3 x}{4} + {(- \frac{3}{8})}^{2} = - \frac{1}{8} + {(- \frac{3}{8})}^{2}$

Schritt 4

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.1.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{3}{8}$ an.

$x^{2} - \frac{3 x}{4} + {(- 1)}^{2} {(\frac{3}{8})}^{2} = - \frac{1}{8} + {(- \frac{3}{8})}^{2}$

Schritt 4.1.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{8}$ an.

$x^{2} - \frac{3 x}{4} + {(- 1)}^{2} \frac{3^{2}}{8^{2}} = - \frac{1}{8} + {(- \frac{3}{8})}^{2}$

Schritt 4.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x^{2} - \frac{3 x}{4} + 1 \frac{3^{2}}{8^{2}} = - \frac{1}{8} + {(- \frac{3}{8})}^{2}$

Schritt 4.1.1.3

Mutltipliziere $\frac{3^{2}}{8^{2}}$ mit $1$ .

$x^{2} - \frac{3 x}{4} + \frac{3^{2}}{8^{2}} = - \frac{1}{8} + {(- \frac{3}{8})}^{2}$

Schritt 4.1.1.4

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x^{2} - \frac{3 x}{4} + \frac{9}{8^{2}} = - \frac{1}{8} + {(- \frac{3}{8})}^{2}$

Schritt 4.1.1.5

Potenziere $8$ mit $2$ .

$x^{2} - \frac{3 x}{4} + \frac{9}{64} = - \frac{1}{8} + {(- \frac{3}{8})}^{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $- \frac{1}{8} + {(- \frac{3}{8})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.2.1.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{3}{8}$ an.

$x^{2} - \frac{3 x}{4} + \frac{9}{64} = - \frac{1}{8} + {(- 1)}^{2} {(\frac{3}{8})}^{2}$

Schritt 4.2.1.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{8}$ an.

$x^{2} - \frac{3 x}{4} + \frac{9}{64} = - \frac{1}{8} + {(- 1)}^{2} \frac{3^{2}}{8^{2}}$

Schritt 4.2.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x^{2} - \frac{3 x}{4} + \frac{9}{64} = - \frac{1}{8} + 1 \frac{3^{2}}{8^{2}}$

Schritt 4.2.1.1.3

Mutltipliziere $\frac{3^{2}}{8^{2}}$ mit $1$ .

$x^{2} - \frac{3 x}{4} + \frac{9}{64} = - \frac{1}{8} + \frac{3^{2}}{8^{2}}$

Schritt 4.2.1.1.4

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x^{2} - \frac{3 x}{4} + \frac{9}{64} = - \frac{1}{8} + \frac{9}{8^{2}}$

Schritt 4.2.1.1.5

Potenziere $8$ mit $2$ .

$x^{2} - \frac{3 x}{4} + \frac{9}{64} = - \frac{1}{8} + \frac{9}{64}$

Schritt 4.2.1.2

Um $- \frac{1}{8}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

$x^{2} - \frac{3 x}{4} + \frac{9}{64} = - \frac{1}{8} \cdot \frac{8}{8} + \frac{9}{64}$

Schritt 4.2.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $64$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.2.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{8}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$x^{2} - \frac{3 x}{4} + \frac{9}{64} = - \frac{8}{8 \cdot 8} + \frac{9}{64}$

Schritt 4.2.1.3.2

Mutltipliziere $8$ mit $8$ .

$x^{2} - \frac{3 x}{4} + \frac{9}{64} = - \frac{8}{64} + \frac{9}{64}$

Schritt 4.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{2} - \frac{3 x}{4} + \frac{9}{64} = \frac{- 8 + 9}{64}$

Schritt 4.2.1.5

Addiere $- 8$ und $9$ .

$x^{2} - \frac{3 x}{4} + \frac{9}{64} = \frac{1}{64}$

Schritt 5

Faktorisiere das perfekte Trinom-Quadrat zu ${(x - \frac{3}{8})}^{2}$ .

${(x - \frac{3}{8})}^{2} = \frac{1}{64}$

Schritt 6

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x - \frac{3}{8} = \pm \sqrt{\frac{1}{64}}$

Schritt 6.2

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{64}}$ .

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Schritt 6.2.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{64}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{64}}$ um.

$x - \frac{3}{8} = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{64}}$

Schritt 6.2.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x - \frac{3}{8} = \pm \frac{1}{\sqrt{64}}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.3.1

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$x - \frac{3}{8} = \pm \frac{1}{\sqrt{8^{2}}}$

Schritt 6.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x - \frac{3}{8} = \pm \frac{1}{8}$

Schritt 6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x - \frac{3}{8} = \frac{1}{8}$

Schritt 6.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.2.1

Addiere $\frac{3}{8}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{1}{8} + \frac{3}{8}$

Schritt 6.3.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{1 + 3}{8}$

Schritt 6.3.2.3

Addiere $1$ und $3$ .

$x = \frac{4}{8}$

Schritt 6.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $8$ .

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Schritt 6.3.2.4.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$x = \frac{4 (1)}{8}$

Schritt 6.3.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.2.4.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

Schritt 6.3.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

Schritt 6.3.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 6.3.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x - \frac{3}{8} = - \frac{1}{8}$

Schritt 6.3.4

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.4.1

Addiere $\frac{3}{8}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = - \frac{1}{8} + \frac{3}{8}$

Schritt 6.3.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{- 1 + 3}{8}$

Schritt 6.3.4.3

Addiere $- 1$ und $3$ .

$x = \frac{2}{8}$

Schritt 6.3.4.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $8$ .

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Schritt 6.3.4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$x = \frac{2 (1)}{8}$

Schritt 6.3.4.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.4.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$x = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.3.4.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.3.4.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{1}{4}$

Schritt 6.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{1}{2}, \frac{1}{4}$