Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} - 3 x - 88 = 0$

Schritt 1

Addiere $88$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 3 x = 88$

Schritt 2

Um auf der linken Seite ein Quadrat-Trinom zu bilden, ermittele einen Wert der gleich dem Quadrat der Hälfte von $b$ ist.

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 3

Addiere den Ausdruck zu jeder Seite der Gleichung.

$x^{2} - 3 x + {(- \frac{3}{2})}^{2} = 88 + {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 4

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.1.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{3}{2}$ an.

$x^{2} - 3 x + {(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2} = 88 + {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 4.1.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$x^{2} - 3 x + {(- 1)}^{2} \frac{3^{2}}{2^{2}} = 88 + {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 4.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x^{2} - 3 x + 1 \frac{3^{2}}{2^{2}} = 88 + {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 4.1.1.3

Mutltipliziere $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{3^{2}}{2^{2}} = 88 + {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 4.1.1.4

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{2^{2}} = 88 + {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 4.1.1.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = 88 + {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $88 + {(- \frac{3}{2})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.2.1.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{3}{2}$ an.

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = 88 + {(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 4.2.1.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = 88 + {(- 1)}^{2} \frac{3^{2}}{2^{2}}$

Schritt 4.2.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = 88 + 1 \frac{3^{2}}{2^{2}}$

Schritt 4.2.1.1.3

Mutltipliziere $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = 88 + \frac{3^{2}}{2^{2}}$

Schritt 4.2.1.1.4

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = 88 + \frac{9}{2^{2}}$

Schritt 4.2.1.1.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = 88 + \frac{9}{4}$

Schritt 4.2.1.2

Um $88$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = 88 \cdot \frac{4}{4} + \frac{9}{4}$

Schritt 4.2.1.3

Kombiniere $88$ und $\frac{4}{4}$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{88 \cdot 4}{4} + \frac{9}{4}$

Schritt 4.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{88 \cdot 4 + 9}{4}$

Schritt 4.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1.5.1

Mutltipliziere $88$ mit $4$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{352 + 9}{4}$

Schritt 4.2.1.5.2

Addiere $352$ und $9$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{361}{4}$

Schritt 5

Faktorisiere das perfekte Trinom-Quadrat zu ${(x - \frac{3}{2})}^{2}$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{361}{4}$

Schritt 6

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x - \frac{3}{2} = \pm \sqrt{\frac{361}{4}}$

Schritt 6.2

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{361}{4}}$ .

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Schritt 6.2.1

Schreibe $\sqrt{\frac{361}{4}}$ als $\frac{\sqrt{361}}{\sqrt{4}}$ um.

$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{361}}{\sqrt{4}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.2.1

Schreibe $361$ als $19^{2}$ um.

$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{19^{2}}}{\sqrt{4}}$

Schritt 6.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{19}{\sqrt{4}}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{19}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 6.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{19}{2}$

Schritt 6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x - \frac{3}{2} = \frac{19}{2}$

Schritt 6.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.2.1

Addiere $\frac{3}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{19}{2} + \frac{3}{2}$

Schritt 6.3.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{19 + 3}{2}$

Schritt 6.3.2.3

Addiere $19$ und $3$ .

$x = \frac{22}{2}$

Schritt 6.3.2.4

Dividiere $22$ durch $2$ .

$x = 11$

Schritt 6.3.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x - \frac{3}{2} = - \frac{19}{2}$

Schritt 6.3.4

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.4.1

Addiere $\frac{3}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = - \frac{19}{2} + \frac{3}{2}$

Schritt 6.3.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{- 19 + 3}{2}$

Schritt 6.3.4.3

Addiere $- 19$ und $3$ .

$x = \frac{- 16}{2}$

Schritt 6.3.4.4

Dividiere $- 16$ durch $2$ .

$x = - 8$

Schritt 6.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 11, - 8$