Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 3 x^{4} - 8 x^{3} - 11 x^{2} + 28 x - 12$

Schritt 1

Setze $3 x^{4} - 8 x^{3} - 11 x^{2} + 28 x - 12$ gleich $0$ .

$3 x^{4} - 8 x^{3} - 11 x^{2} + 28 x - 12 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $3 x^{4} - 8 x^{3} - 11 x^{2} + 28 x - 12$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.1.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 3$

Schritt 2.1.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 12, \pm 4, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 6, \pm 3, \pm 1.\overline{3}$

Schritt 2.1.1.3

Setze $1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 2.1.1.3.1

Setze $1$ in das Polynom ein.

$3 \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1^{3} - 11 \cdot 1^{2} + 28 \cdot 1 - 12$

Schritt 2.1.1.3.2

Potenziere $1$ mit $4$ .

$3 \cdot 1 - 8 \cdot 1^{3} - 11 \cdot 1^{2} + 28 \cdot 1 - 12$

Schritt 2.1.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 - 8 \cdot 1^{3} - 11 \cdot 1^{2} + 28 \cdot 1 - 12$

Schritt 2.1.1.3.4

Potenziere $1$ mit $3$ .

$3 - 8 \cdot 1 - 11 \cdot 1^{2} + 28 \cdot 1 - 12$

Schritt 2.1.1.3.5

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$3 - 8 - 11 \cdot 1^{2} + 28 \cdot 1 - 12$

Schritt 2.1.1.3.6

Subtrahiere $8$ von $3$ .

$- 5 - 11 \cdot 1^{2} + 28 \cdot 1 - 12$

Schritt 2.1.1.3.7

Potenziere $1$ mit $2$ .

$- 5 - 11 \cdot 1 + 28 \cdot 1 - 12$

Schritt 2.1.1.3.8

Mutltipliziere $- 11$ mit $1$ .

$- 5 - 11 + 28 \cdot 1 - 12$

Schritt 2.1.1.3.9

Subtrahiere $11$ von $- 5$ .

$- 16 + 28 \cdot 1 - 12$

Schritt 2.1.1.3.10

Mutltipliziere $28$ mit $1$ .

$- 16 + 28 - 12$

Schritt 2.1.1.3.11

Addiere $- 16$ und $28$ .

$12 - 12$

Schritt 2.1.1.3.12

Subtrahiere $12$ von $12$ .

$0$

Schritt 2.1.1.4

Da $1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{3 x^{4} - 8 x^{3} - 11 x^{2} + 28 x - 12}{x - 1}$

Schritt 2.1.1.5

Dividiere $3 x^{4} - 8 x^{3} - 11 x^{2} + 28 x - 12$ durch $x - 1$ .

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Schritt 2.1.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$11 x^{2}$

$28 x$

$12$

Schritt 2.1.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $3 x^{4}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$3 x^{3}$
	$x$	-	$1$		$3 x^{4}$	-	$8 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$28 x$	-	$12$

Schritt 2.1.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$3 x^{3}$
$x$	-	$1$		$3 x^{4}$	-	$8 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$28 x$	-	$12$
			+	$3 x^{4}$	-	$3 x^{3}$

Schritt 2.1.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $3 x^{4} - 3 x^{3}$

				$3 x^{3}$
$x$	-	$1$		$3 x^{4}$	-	$8 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$28 x$	-	$12$
			-	$3 x^{4}$	+	$3 x^{3}$

Schritt 2.1.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$3 x^{3}$
$x$	-	$1$		$3 x^{4}$	-	$8 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$28 x$	-	$12$
			-	$3 x^{4}$	+	$3 x^{3}$
					-	$5 x^{3}$

Schritt 2.1.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$3 x^{3}$
$x$	-	$1$		$3 x^{4}$	-	$8 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$28 x$	-	$12$
			-	$3 x^{4}$	+	$3 x^{3}$
					-	$5 x^{3}$	-	$11 x^{2}$

Schritt 2.1.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 5 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$3 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
$x$	-	$1$		$3 x^{4}$	-	$8 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$28 x$	-	$12$
			-	$3 x^{4}$	+	$3 x^{3}$
					-	$5 x^{3}$	-	$11 x^{2}$

Schritt 2.1.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$3 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
$x$	-	$1$		$3 x^{4}$	-	$8 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$28 x$	-	$12$
			-	$3 x^{4}$	+	$3 x^{3}$
					-	$5 x^{3}$	-	$11 x^{2}$
					-	$5 x^{3}$	+	$5 x^{2}$

Schritt 2.1.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 5 x^{3} + 5 x^{2}$

				$3 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
$x$	-	$1$		$3 x^{4}$	-	$8 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$28 x$	-	$12$
			-	$3 x^{4}$	+	$3 x^{3}$
					-	$5 x^{3}$	-	$11 x^{2}$
					+	$5 x^{3}$	-	$5 x^{2}$

Schritt 2.1.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$3 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
$x$	-	$1$		$3 x^{4}$	-	$8 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$28 x$	-	$12$
			-	$3 x^{4}$	+	$3 x^{3}$
					-	$5 x^{3}$	-	$11 x^{2}$
					+	$5 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
							-	$16 x^{2}$

Schritt 2.1.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$3 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$11 x^{2}$

$28 x$

$12$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$11 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$16 x^{2}$

$28 x$

Schritt 2.1.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 16 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$3 x^{3}$

$5 x^{2}$

$16 x$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$11 x^{2}$

$28 x$

$12$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$11 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$16 x^{2}$

$28 x$

Schritt 2.1.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$3 x^{3}$

$5 x^{2}$

$16 x$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$11 x^{2}$

$28 x$

$12$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$11 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$16 x^{2}$

$28 x$

$16 x^{2}$

$16 x$

Schritt 2.1.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 16 x^{2} + 16 x$

$3 x^{3}$

$5 x^{2}$

$16 x$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$11 x^{2}$

$28 x$

$12$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$11 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$16 x^{2}$

$28 x$

$16 x^{2}$

$16 x$

Schritt 2.1.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$3 x^{3}$

$5 x^{2}$

$16 x$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$11 x^{2}$

$28 x$

$12$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$11 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$16 x^{2}$

$28 x$

$16 x^{2}$

$16 x$

$12 x$

Schritt 2.1.1.5.16

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$3 x^{3}$

$5 x^{2}$

$16 x$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$11 x^{2}$

$28 x$

$12$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$11 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$16 x^{2}$

$28 x$

$16 x^{2}$

$16 x$

$12 x$

$12$

Schritt 2.1.1.5.17

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $12 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$3 x^{3}$

$5 x^{2}$

$16 x$

$12$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$11 x^{2}$

$28 x$

$12$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$11 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$16 x^{2}$

$28 x$

$16 x^{2}$

$16 x$

$12 x$

$12$

Schritt 2.1.1.5.18

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$3 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$16 x$	+	$12$
$x$	-	$1$		$3 x^{4}$	-	$8 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$28 x$	-	$12$
			-	$3 x^{4}$	+	$3 x^{3}$
					-	$5 x^{3}$	-	$11 x^{2}$
					+	$5 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
							-	$16 x^{2}$	+	$28 x$
							+	$16 x^{2}$	-	$16 x$
									+	$12 x$	-	$12$
									+	$12 x$	-	$12$

Schritt 2.1.1.5.19

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $12 x - 12$

				$3 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$16 x$	+	$12$
$x$	-	$1$		$3 x^{4}$	-	$8 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$28 x$	-	$12$
			-	$3 x^{4}$	+	$3 x^{3}$
					-	$5 x^{3}$	-	$11 x^{2}$
					+	$5 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
							-	$16 x^{2}$	+	$28 x$
							+	$16 x^{2}$	-	$16 x$
									+	$12 x$	-	$12$
									-	$12 x$	+	$12$

Schritt 2.1.1.5.20

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$3 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$16 x$	+	$12$
$x$	-	$1$		$3 x^{4}$	-	$8 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$28 x$	-	$12$
			-	$3 x^{4}$	+	$3 x^{3}$
					-	$5 x^{3}$	-	$11 x^{2}$
					+	$5 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
							-	$16 x^{2}$	+	$28 x$
							+	$16 x^{2}$	-	$16 x$
									+	$12 x$	-	$12$
									-	$12 x$	+	$12$
												$0$

Schritt 2.1.1.5.21

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$3 x^{3} - 5 x^{2} - 16 x + 12$

Schritt 2.1.1.6

Schreibe $3 x^{4} - 8 x^{3} - 11 x^{2} + 28 x - 12$ als eine Menge von Faktoren.

$(x - 1) (3 x^{3} - 5 x^{2} - 16 x + 12) = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $3 x^{3} - 5 x^{2} - 16 x + 12$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.1.2.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 3$

Schritt 2.1.2.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 12, \pm 4, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 6, \pm 3, \pm 1.\overline{3}$

Schritt 2.1.2.3

Setze $- 2$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 2$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 2.1.2.3.1

Setze $- 2$ in das Polynom ein.

$3 {(- 2)}^{3} - 5 {(- 2)}^{2} - 16 \cdot - 2 + 12$

Schritt 2.1.2.3.2

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$3 \cdot - 8 - 5 {(- 2)}^{2} - 16 \cdot - 2 + 12$

Schritt 2.1.2.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 8$ .

$- 24 - 5 {(- 2)}^{2} - 16 \cdot - 2 + 12$

Schritt 2.1.2.3.4

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$- 24 - 5 \cdot 4 - 16 \cdot - 2 + 12$

Schritt 2.1.2.3.5

Mutltipliziere $- 5$ mit $4$ .

$- 24 - 20 - 16 \cdot - 2 + 12$

Schritt 2.1.2.3.6

Subtrahiere $20$ von $- 24$ .

$- 44 - 16 \cdot - 2 + 12$

Schritt 2.1.2.3.7

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 2$ .

$- 44 + 32 + 12$

Schritt 2.1.2.3.8

Addiere $- 44$ und $32$ .

$- 12 + 12$

Schritt 2.1.2.3.9

Addiere $- 12$ und $12$ .

$0$

Schritt 2.1.2.4

Da $- 2$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 2$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{3 x^{3} - 5 x^{2} - 16 x + 12}{x + 2}$

Schritt 2.1.2.5

Dividiere $3 x^{3} - 5 x^{2} - 16 x + 12$ durch $x + 2$ .

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Schritt 2.1.2.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$2$

$3 x^{3}$

$5 x^{2}$

$16 x$

$12$

Schritt 2.1.2.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $3 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$3 x^{2}$
	$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$16 x$	+	$12$

Schritt 2.1.2.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$16 x$	+	$12$
			+	$3 x^{3}$	+	$6 x^{2}$

Schritt 2.1.2.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $3 x^{3} + 6 x^{2}$

				$3 x^{2}$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$16 x$	+	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$

Schritt 2.1.2.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$16 x$	+	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$

Schritt 2.1.2.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$16 x$	+	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	-	$16 x$

Schritt 2.1.2.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 11 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$3 x^{2}$	-	$11 x$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$16 x$	+	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	-	$16 x$

Schritt 2.1.2.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$3 x^{2}$	-	$11 x$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$16 x$	+	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	-	$16 x$
					-	$11 x^{2}$	-	$22 x$

Schritt 2.1.2.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 11 x^{2} - 22 x$

				$3 x^{2}$	-	$11 x$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$16 x$	+	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	-	$16 x$
					+	$11 x^{2}$	+	$22 x$

Schritt 2.1.2.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$3 x^{2}$	-	$11 x$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$16 x$	+	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	-	$16 x$
					+	$11 x^{2}$	+	$22 x$
							+	$6 x$

Schritt 2.1.2.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$3 x^{2}$	-	$11 x$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$16 x$	+	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	-	$16 x$
					+	$11 x^{2}$	+	$22 x$
							+	$6 x$	+	$12$

Schritt 2.1.2.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $6 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$3 x^{2}$	-	$11 x$	+	$6$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$16 x$	+	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	-	$16 x$
					+	$11 x^{2}$	+	$22 x$
							+	$6 x$	+	$12$

Schritt 2.1.2.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$3 x^{2}$	-	$11 x$	+	$6$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$16 x$	+	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	-	$16 x$
					+	$11 x^{2}$	+	$22 x$
							+	$6 x$	+	$12$
							+	$6 x$	+	$12$

Schritt 2.1.2.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $6 x + 12$

				$3 x^{2}$	-	$11 x$	+	$6$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$16 x$	+	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	-	$16 x$
					+	$11 x^{2}$	+	$22 x$
							+	$6 x$	+	$12$
							-	$6 x$	-	$12$

Schritt 2.1.2.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$3 x^{2}$	-	$11 x$	+	$6$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$16 x$	+	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	-	$16 x$
					+	$11 x^{2}$	+	$22 x$
							+	$6 x$	+	$12$
							-	$6 x$	-	$12$
										$0$

Schritt 2.1.2.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$3 x^{2} - 11 x + 6$

Schritt 2.1.2.6

Schreibe $3 x^{3} - 5 x^{2} - 16 x + 12$ als eine Menge von Faktoren.

$(x - 1) ((x + 2) (3 x^{2} - 11 x + 6)) = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.3.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.3.1.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.3.1.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot 6 = 18$ und deren Summe gleich $b = - 11$ ist.

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Schritt 2.1.3.1.1.1.1

Faktorisiere $- 11$ aus $- 11 x$ heraus.

$(x - 1) ((x + 2) (3 x^{2} - 11 x + 6)) = 0$

Schritt 2.1.3.1.1.1.2

Schreibe $- 11$ um als $- 2$ plus $- 9$

$(x - 1) ((x + 2) (3 x^{2} + (- 2 - 9) x + 6)) = 0$

Schritt 2.1.3.1.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x - 1) ((x + 2) (3 x^{2} - 2 x - 9 x + 6)) = 0$

Schritt 2.1.3.1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.3.1.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x - 1) ((x + 2) ((3 x^{2} - 2 x) - 9 x + 6)) = 0$

Schritt 2.1.3.1.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x - 1) ((x + 2) (x (3 x - 2) - 3 (3 x - 2))) = 0$

Schritt 2.1.3.1.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x - 2$ .

$(x - 1) ((x + 2) ((3 x - 2) (x - 3))) = 0$

Schritt 2.1.3.1.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x - 1) ((x + 2) (3 x - 2) (x - 3)) = 0$

Schritt 2.1.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x - 1) (x + 2) (3 x - 2) (x - 3) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

$3 x - 2 = 0$

$x - 3 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 2.4

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 2.4.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 2.5

Setze $3 x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $3 x - 2$ gleich $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Schritt 2.5.2

Löse $3 x - 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 2$

Schritt 2.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 2$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 2$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Schritt 2.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Schritt 2.5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Schritt 2.6

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 2.6.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 1) (x + 2) (3 x - 2) (x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = 1, - 2, \frac{2}{3}, 3$

Schritt 3