Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = x^{4} + x^{3} - 3 x^{2} - x + 2$

Schritt 1

Setze $x^{4} + x^{3} - 3 x^{2} - x + 2$ gleich $0$ .

$x^{4} + x^{3} - 3 x^{2} - x + 2 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Gruppiere die Terme um.

$x^{4} + x^{3} - 3 x^{2} - x + 2 = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{4} + x^{3}$ heraus.

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{4}$ heraus.

$x^{3} x + x^{3} - 3 x^{2} - x + 2 = 0$

Schritt 2.1.2.2

Multipliziere mit $1$ .

$x^{3} x + x^{3} \cdot 1 - 3 x^{2} - x + 2 = 0$

Schritt 2.1.2.3

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{3} x + x^{3} \cdot 1$ heraus.

$x^{3} (x + 1) - 3 x^{2} - x + 2 = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 3 \cdot 2 = - 6$ und deren Summe gleich $b = - 1$ ist.

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Schritt 2.1.3.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$x^{3} (x + 1) - 3 x^{2} - (x) + 2 = 0$

Schritt 2.1.3.1.2

Schreibe $- 1$ um als $2$ plus $- 3$

$x^{3} (x + 1) - 3 x^{2} + (2 - 3) x + 2 = 0$

Schritt 2.1.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{3} (x + 1) - 3 x^{2} + 2 x - 3 x + 2 = 0$

Schritt 2.1.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$x^{3} (x + 1) - 3 x^{2} + 2 x - 3 x + 2 = 0$

Schritt 2.1.3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x^{3} (x + 1) + x (- 3 x + 2) + 1 (- 3 x + 2) = 0$

Schritt 2.1.3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- 3 x + 2$ .

$x^{3} (x + 1) + (- 3 x + 2) (x + 1) = 0$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $x + 1$ aus $x^{3} (x + 1) + (- 3 x + 2) (x + 1)$ heraus.

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Schritt 2.1.4.1

Faktorisiere $x + 1$ aus $x^{3} (x + 1)$ heraus.

$(x + 1) x^{3} + (- 3 x + 2) (x + 1) = 0$

Schritt 2.1.4.2

Faktorisiere $x + 1$ aus $(- 3 x + 2) (x + 1)$ heraus.

$(x + 1) x^{3} + (x + 1) (- 3 x + 2) = 0$

Schritt 2.1.4.3

Faktorisiere $x + 1$ aus $(x + 1) x^{3} + (x + 1) (- 3 x + 2)$ heraus.

$(x + 1) (x^{3} - 3 x + 2) = 0$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.5.1

Schreibe $x^{3} - 3 x + 2$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 2.1.5.1.1

Faktorisiere $x^{3} - 3 x + 2$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.1.5.1.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Schritt 2.1.5.1.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 2$

Schritt 2.1.5.1.1.3

Setze $1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 2.1.5.1.1.3.1

Setze $1$ in das Polynom ein.

$1^{3} - 3 \cdot 1 + 2$

Schritt 2.1.5.1.1.3.2

Potenziere $1$ mit $3$ .

$1 - 3 \cdot 1 + 2$

Schritt 2.1.5.1.1.3.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$1 - 3 + 2$

Schritt 2.1.5.1.1.3.4

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$- 2 + 2$

Schritt 2.1.5.1.1.3.5

Addiere $- 2$ und $2$ .

$0$

Schritt 2.1.5.1.1.4

Da $1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} - 3 x + 2}{x - 1}$

Schritt 2.1.5.1.1.5

Dividiere $x^{3} - 3 x + 2$ durch $x - 1$ .

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Schritt 2.1.5.1.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$2$

Schritt 2.1.5.1.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$

Schritt 2.1.5.1.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Schritt 2.1.5.1.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Schritt 2.1.5.1.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$

Schritt 2.1.5.1.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$

Schritt 2.1.5.1.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$

Schritt 2.1.5.1.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

Schritt 2.1.5.1.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{2} - x$

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Schritt 2.1.5.1.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$

Schritt 2.1.5.1.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	+	$2$

Schritt 2.1.5.1.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 2 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	+	$2$

Schritt 2.1.5.1.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	+	$2$

Schritt 2.1.5.1.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 2 x + 2$

				$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	+	$2$
							+	$2 x$	-	$2$

Schritt 2.1.5.1.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	+	$2$
							+	$2 x$	-	$2$
										$0$

Schritt 2.1.5.1.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} + x - 2$

Schritt 2.1.5.1.1.6

Schreibe $x^{3} - 3 x + 2$ als eine Menge von Faktoren.

$(x + 1) ((x - 1) (x^{2} + x - 2)) = 0$

Schritt 2.1.5.1.2

Faktorisiere $x^{2} + x - 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1.5.1.2.1

Faktorisiere $x^{2} + x - 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1.5.1.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 2$ und deren Summe $1$ ist.

$- 1, 2$

Schritt 2.1.5.1.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x + 1) ((x - 1) ((x - 1) (x + 2))) = 0$

Schritt 2.1.5.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 1) ((x - 1) (x - 1) (x + 2)) = 0$

Schritt 2.1.5.1.3

Fasse gleichartig Faktoren zusammen.

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Schritt 2.1.5.1.3.1

Potenziere $x - 1$ mit $1$ .

$(x + 1) ((x - 1) (x - 1) (x + 2)) = 0$

Schritt 2.1.5.1.3.2

Potenziere $x - 1$ mit $1$ .

$(x + 1) ((x - 1) (x - 1) (x + 2)) = 0$

Schritt 2.1.5.1.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(x + 1) ({(x - 1)}^{1 + 1} (x + 2)) = 0$

Schritt 2.1.5.1.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$(x + 1) ({(x - 1)}^{2} (x + 2)) = 0$

Schritt 2.1.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 1) {(x - 1)}^{2} (x + 2) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

$x + 2 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 2.4

Setze ${(x - 1)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze ${(x - 1)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Schritt 2.4.2

Löse ${(x - 1)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 2.4.2.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 2.5

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 1) {(x - 1)}^{2} (x + 2) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, 1, - 2$

Schritt 3