Elementarmathematik Beispiele

${(2 x - 1)}^{2} = 8$

Schritt 1

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

${(2 x - 1)}^{2} - 8 = 0$

Schritt 2

Vereinfache ${(2 x - 1)}^{2} - 8$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Schreibe ${(2 x - 1)}^{2}$ als $(2 x - 1) (2 x - 1)$ um.

$(2 x - 1) (2 x - 1) - 8 = 0$

Schritt 2.1.2

Multipliziere $(2 x - 1) (2 x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x (2 x - 1) - 1 (2 x - 1) - 8 = 0$

Schritt 2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x - 1) - 8 = 0$

Schritt 2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1 - 8 = 0$

Schritt 2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1 - 8 = 0$

Schritt 2.1.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1 - 8 = 0$

Schritt 2.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1 - 8 = 0$

Schritt 2.1.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1 - 8 = 0$

Schritt 2.1.3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$4 x^{2} - 2 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1 - 8 = 0$

Schritt 2.1.3.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$4 x^{2} - 2 x - 2 x - 1 \cdot - 1 - 8 = 0$

Schritt 2.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$4 x^{2} - 2 x - 2 x + 1 - 8 = 0$

Schritt 2.1.3.2

Subtrahiere $2 x$ von $- 2 x$ .

$4 x^{2} - 4 x + 1 - 8 = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $8$ von $1$ .

$4 x^{2} - 4 x - 7 = 0$

Schritt 3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4

Setze die Werte $a = 4$ , $b = - 4$ und $c = - 7$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 7)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 4 \cdot - 7}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot - 7$ .

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Schritt 5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16 \cdot - 7}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 7$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 112}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.3

Addiere $16$ und $112$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{128}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.4

Schreibe $128$ als $8^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 5.1.4.1

Faktorisiere $64$ aus $128$ heraus.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{64 (2)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.4.2

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{4 \pm 8 \sqrt{2}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = \frac{4 \pm 8 \sqrt{2}}{8}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 8 \sqrt{2}}{8}$ .

$x = \frac{1 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 4 \cdot - 7}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot - 7$ .

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Schritt 6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16 \cdot - 7}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 7$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 112}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.1.3

Addiere $16$ und $112$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{128}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.1.4

Schreibe $128$ als $8^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 6.1.4.1

Faktorisiere $64$ aus $128$ heraus.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{64 (2)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.1.4.2

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{4 \pm 8 \sqrt{2}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = \frac{4 \pm 8 \sqrt{2}}{8}$

Schritt 6.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 8 \sqrt{2}}{8}$ .

$x = \frac{1 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 6.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{1 + 2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 4 \cdot - 7}}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot - 7$ .

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Schritt 7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16 \cdot - 7}}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 7$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 112}}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.1.3

Addiere $16$ und $112$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{128}}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.1.4

Schreibe $128$ als $8^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 7.1.4.1

Faktorisiere $64$ aus $128$ heraus.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{64 (2)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.1.4.2

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{4 \pm 8 \sqrt{2}}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = \frac{4 \pm 8 \sqrt{2}}{8}$

Schritt 7.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 8 \sqrt{2}}{8}$ .

$x = \frac{1 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 7.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{1 - 2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{1 + 2 \sqrt{2}}{2}, \frac{1 - 2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{1 + 2 \sqrt{2}}{2}, \frac{1 - 2 \sqrt{2}}{2}$

Dezimalform:

$x = 1.91421356 \dots, - 0.91421356 \dots$