Elementarmathematik Beispiele

$y = \sqrt{9 - x^{2}}$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = \sqrt{9 - x^{2}}$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt{9 - x^{2}} = 0$ um.

$\sqrt{9 - x^{2}} = 0$

Schritt 1.2.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{9 - x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{9 - x^{2}}$ als ${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Vereinfache ${({(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 1.2.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 1.2.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(9 - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Vereinfache.

$9 - x^{2} = 0^{2}$

Schritt 1.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$9 - x^{2} = 0$

Schritt 1.2.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} = - 9$

Schritt 1.2.4.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 9$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 9$ durch $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 9}{- 1}$

Schritt 1.2.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.4.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 9}{- 1}$

Schritt 1.2.4.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 9}{- 1}$

Schritt 1.2.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.3.1

Dividiere $- 9$ durch $- 1$ .

$x^{2} = 9$

Schritt 1.2.4.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{9}$

Schritt 1.2.4.4

Vereinfache $\pm \sqrt{9}$ .

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Schritt 1.2.4.4.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Schritt 1.2.4.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 3$

Schritt 1.2.4.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.4.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 3$

Schritt 1.2.4.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 3$

Schritt 1.2.4.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 3, - 3$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(3, 0), (- 3, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = \sqrt{9 - {(0)}^{2}}$

Schritt 2.2

Vereinfache $\sqrt{9 - {(0)}^{2}}$ .

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Schritt 2.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = \sqrt{9 - 0}$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$y = \sqrt{9 + 0}$

Schritt 2.2.3

Addiere $9$ und $0$ .

$y = \sqrt{9}$

Schritt 2.2.4

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$y = \sqrt{3^{2}}$

Schritt 2.2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$y = 3$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 3)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(3, 0), (- 3, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 3)$

Schritt 4