Elementarmathematik Beispiele

$1 + \frac{2}{x + 1} \leq \frac{2}{x}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{2}{x}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$1 + \frac{2}{x + 1} - \frac{2}{x} \leq 0$

Schritt 2

Vereinfache $1 + \frac{2}{x + 1} - \frac{2}{x}$ .

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Schritt 2.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x + 1}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} - \frac{2}{x} \leq 0$

Schritt 2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x + 1 + 2}{x + 1} - \frac{2}{x} \leq 0$

Schritt 2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{x + 3}{x + 1} - \frac{2}{x} \leq 0$

Schritt 2.4

Um $\frac{x + 3}{x + 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x + 3}{x + 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{2}{x} \leq 0$

Schritt 2.5

Um $- \frac{2}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x + 3}{x + 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{2}{x} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} \leq 0$

Schritt 2.6

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + 1) x$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $\frac{x + 3}{x + 1}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(x + 3) x}{(x + 1) x} - \frac{2}{x} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} \leq 0$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $\frac{2}{x}$ mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{(x + 3) x}{(x + 1) x} - \frac{2 (x + 1)}{x (x + 1)} \leq 0$

Schritt 2.6.3

Stelle die Faktoren von $(x + 1) x$ um.

$\frac{(x + 3) x}{x (x + 1)} - \frac{2 (x + 1)}{x (x + 1)} \leq 0$

Schritt 2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(x + 3) x - 2 (x + 1)}{x (x + 1)} \leq 0$

Schritt 2.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x + 3 x - 2 (x + 1)}{x (x + 1)} \leq 0$

Schritt 2.8.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x - 2 (x + 1)}{x (x + 1)} \leq 0$

Schritt 2.8.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + 3 x - 2 x - 2 \cdot 1}{x (x + 1)} \leq 0$

Schritt 2.8.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} + 3 x - 2 x - 2}{x (x + 1)} \leq 0$

Schritt 2.8.5

Subtrahiere $2 x$ von $3 x$ .

$\frac{x^{2} + x - 2}{x (x + 1)} \leq 0$

Schritt 2.8.6

Faktorisiere $x^{2} + x - 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.8.6.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 2$ und deren Summe $1$ ist.

$- 1, 2$

Schritt 2.8.6.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{x (x + 1)} \leq 0$

Schritt 3

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Schritt 4

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 5

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 6

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 7

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 0$

$x = 1$

$x = - 2$

$x = - 1$

Schritt 8

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 0, 1, - 2, - 1$

Schritt 9

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{(x - 1) (x + 2)}{x (x + 1)}$ .

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Schritt 9.1

Setze den Nenner in $\frac{(x - 1) (x + 2)}{x (x + 1)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x (x + 1) = 0$

Schritt 9.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

Schritt 9.2.2

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 9.2.3

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.2.3.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 9.2.3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 9.2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 1$

Schritt 9.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 10

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 2$

$- 2 < x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Schritt 11

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 11.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 11.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$1 + \frac{2}{(- 4) + 1} \leq \frac{2}{- 4}$

Schritt 11.1.3

Die linke Seite $0.\overline{3}$ ist größer als die rechte Seite $- 0.5$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 11.2

Teste einen Wert im Intervall $- 2 < x < - 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 2 < x < - 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 1.5$

Schritt 11.2.2

Ersetze $x$ durch $- 1.5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$1 + \frac{2}{(- 1.5) + 1} \leq \frac{2}{- 1.5}$

Schritt 11.2.3

Die linke Seite $- 3$ ist kleiner als die rechte Seite $- 1.\overline{3}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 11.3

Teste einen Wert im Intervall $- 1 < x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 1 < x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 0.5$

Schritt 11.3.2

Ersetze $x$ durch $- 0.5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$1 + \frac{2}{(- 0.5) + 1} \leq \frac{2}{- 0.5}$

Schritt 11.3.3

Die linke Seite $5$ ist größer als die rechte Seite $- 4$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 11.4

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0.5$

Schritt 11.4.2

Ersetze $x$ durch $0.5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$1 + \frac{2}{(0.5) + 1} \leq \frac{2}{0.5}$

Schritt 11.4.3

Die linke Seite $2.\overline{3}$ ist kleiner als die rechte Seite $4$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 11.5

Teste einen Wert im Intervall $x > 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.5.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 11.5.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$1 + \frac{2}{(4) + 1} \leq \frac{2}{4}$

Schritt 11.5.3

Die linke Seite $1.4$ ist größer als die rechte Seite $0.5$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 11.6

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 2$ Falsch

$- 2 < x < - 1$ Wahr

$- 1 < x < 0$ Falsch

$0 < x < 1$ Wahr

$x > 1$ Falsch

$x < - 2$ Falsch

$- 2 < x < - 1$ Wahr

$- 1 < x < 0$ Falsch

$0 < x < 1$ Wahr

$x > 1$ Falsch

Schritt 12

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 2 \leq x < - 1$ oder $0 < x \leq 1$

Schritt 13

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$[- 2, - 1) \cup (0, 1]$

Schritt 14