Elementarmathematik Beispiele

$x^{3} + 7 x^{2} - 16 x + 18$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 9, \pm 18$

$q = \pm 1$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 9, \pm 18$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

${(- 9)}^{3} + 7 {(- 9)}^{2} - 16 \cdot - 9 + 18$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = - 9$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $- 9$ mit $3$ .

$- 729 + 7 {(- 9)}^{2} - 16 \cdot - 9 + 18$

Schritt 4.1.2

Potenziere $- 9$ mit $2$ .

$- 729 + 7 \cdot 81 - 16 \cdot - 9 + 18$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $7$ mit $81$ .

$- 729 + 567 - 16 \cdot - 9 + 18$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 9$ .

$- 729 + 567 + 144 + 18$

Schritt 4.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 4.2.1

Addiere $- 729$ und $567$ .

$- 162 + 144 + 18$

Schritt 4.2.2

Addiere $- 162$ und $144$ .

$- 18 + 18$

Schritt 4.2.3

Addiere $- 18$ und $18$ .

$0$

Schritt 5

Da $- 9$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x + 9$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} + 7 x^{2} - 16 x + 18}{x + 9}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- 9$	$1$	$7$	$- 16$	$18$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- 9$	$1$	$7$	$- 16$	$18$

	$1$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(- 9)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 9)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(7)$ .

$- 9$	$1$	$7$	$- 16$	$18$
		$- 9$
	$1$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 9$	$1$	$7$	$- 16$	$18$
		$- 9$
	$1$	$- 2$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 2)$ mit dem Divisor $(- 9)$ und schreibe das Ergebnis von $(18)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 16)$ .

$- 9$	$1$	$7$	$- 16$	$18$
		$- 9$	$18$
	$1$	$- 2$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 9$	$1$	$7$	$- 16$	$18$
		$- 9$	$18$
	$1$	$- 2$	$2$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(2)$ mit dem Divisor $(- 9)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 18)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(18)$ .

$- 9$	$1$	$7$	$- 16$	$18$
		$- 9$	$18$	$- 18$
	$1$	$- 2$	$2$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 9$	$1$	$7$	$- 16$	$18$
		$- 9$	$18$	$- 18$
	$1$	$- 2$	$2$	$0$

Schritt 6.9

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$1 x^{2} + - 2 x + 2$

Schritt 6.10

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x^{2} - 2 x + 2$

Schritt 7

Löse die Gleichung, um sämtliche verbleibenden Wurzeln zu ermitteln.

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Schritt 7.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 7.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 2$ und $c = 2$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3

Vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.3.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Schritt 7.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.1.3

Subtrahiere $8$ von $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.1.4

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (4)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.1.7

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

Schritt 7.3.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 1 \pm i$

Schritt 7.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.4.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Schritt 7.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.1.3

Subtrahiere $8$ von $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.1.4

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (4)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.1.7

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

Schritt 7.4.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 1 \pm i$

Schritt 7.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = 1 + i$

Schritt 7.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.5.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Schritt 7.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.1.3

Subtrahiere $8$ von $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.1.4

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (4)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.1.7

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

Schritt 7.5.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 1 \pm i$

Schritt 7.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = 1 - i$

Schritt 7.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 1 + i, 1 - i$

Schritt 8

Das Polynom kann als ein Satz Linearfaktoren geschrieben werden.

$(x + 9) (x - 1 - i) (x - 1 + i)$

Schritt 9

Das sind die Wurzeln des Polynoms $x^{3} + 7 x^{2} - 16 x + 18$ .

$x = - 9, 1 + i, 1 - i$

Schritt 10