Elementarmathematik Beispiele

$4 x^{3} + 4 x^{2} - 7 x + 2$

Schritt 1

Faktorisiere $4 x^{3} + 4 x^{2} - 7 x + 2$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Schritt 1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 2$

Schritt 1.3

Setze $0.5$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $0.5$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 1.3.1

Setze $0.5$ in das Polynom ein.

$4 \cdot {0.5}^{3} + 4 \cdot {0.5}^{2} - 7 \cdot 0.5 + 2$

Schritt 1.3.2

Potenziere $0.5$ mit $3$ .

$4 \cdot 0.125 + 4 \cdot {0.5}^{2} - 7 \cdot 0.5 + 2$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $0.125$ .

$0.5 + 4 \cdot {0.5}^{2} - 7 \cdot 0.5 + 2$

Schritt 1.3.4

Potenziere $0.5$ mit $2$ .

$0.5 + 4 \cdot 0.25 - 7 \cdot 0.5 + 2$

Schritt 1.3.5

Mutltipliziere $4$ mit $0.25$ .

$0.5 + 1 - 7 \cdot 0.5 + 2$

Schritt 1.3.6

Addiere $0.5$ und $1$ .

$1.5 - 7 \cdot 0.5 + 2$

Schritt 1.3.7

Mutltipliziere $- 7$ mit $0.5$ .

$1.5 - 3.5 + 2$

Schritt 1.3.8

Subtrahiere $3.5$ von $1.5$ .

$- 2 + 2$

Schritt 1.3.9

Addiere $- 2$ und $2$ .

$0$

Schritt 1.4

Da $0.5$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $2 x - 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{4 x^{3} + 4 x^{2} - 7 x + 2}{2 x - 1}$

Schritt 1.5

Dividiere $4 x^{3} + 4 x^{2} - 7 x + 2$ durch $2 x - 1$ .

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Schritt 1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$2 x$

$1$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$7 x$

$2$

Schritt 1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $4 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

					$2 x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$

Schritt 1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			+	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Schritt 1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $4 x^{3} - 2 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Schritt 1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$

Schritt 1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$7 x$

Schritt 1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $6 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$7 x$

Schritt 1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$

Schritt 1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $6 x^{2} - 3 x$

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$

Schritt 1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$

Schritt 1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$	+	$2$

Schritt 1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 4 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$	+	$2$

Schritt 1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$	+	$2$
							-	$4 x$	+	$2$

Schritt 1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 4 x + 2$

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$	+	$2$
							+	$4 x$	-	$2$

Schritt 1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$	+	$2$
							+	$4 x$	-	$2$
										$0$

Schritt 1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$2 x^{2} + 3 x - 2$

Schritt 1.6

Schreibe $4 x^{3} + 4 x^{2} - 7 x + 2$ als eine Menge von Faktoren.

$(2 x - 1) (2 x^{2} + 3 x - 2)$

Schritt 2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ und deren Summe gleich $b = 3$ ist.

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Schritt 2.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$(2 x - 1) (2 x^{2} + 3 (x) - 2)$

Schritt 2.1.1.2

Schreibe $3$ um als $- 1$ plus $4$

$(2 x - 1) (2 x^{2} + (- 1 + 4) x - 2)$

Schritt 2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 x - 1) (2 x^{2} - 1 x + 4 x - 2)$

Schritt 2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(2 x - 1) ((2 x^{2} - 1 x) + 4 x - 2)$

Schritt 2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(2 x - 1) (x (2 x - 1) + 2 (2 x - 1))$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x - 1$ .

$(2 x - 1) ((2 x - 1) (x + 2))$

Schritt 2.2

Entferne unnötige Klammern.

$(2 x - 1) (2 x - 1) (x + 2)$

Schritt 3

Fasse gleichartig Faktoren zusammen.

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Schritt 3.1

Potenziere $2 x - 1$ mit $1$ .

${(2 x - 1)}^{1} (2 x - 1) (x + 2)$

Schritt 3.2

Potenziere $2 x - 1$ mit $1$ .

${(2 x - 1)}^{1} {(2 x - 1)}^{1} (x + 2)$

Schritt 3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(2 x - 1)}^{1 + 1} (x + 2)$

Schritt 3.4

Addiere $1$ und $1$ .

${(2 x - 1)}^{2} (x + 2)$