Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = x^{4} - x^{3} - 7 x^{2} + 5 x + 10$

Schritt 1

Setze $x^{4} - x^{3} - 7 x^{2} + 5 x + 10$ gleich $0$ .

$x^{4} - x^{3} - 7 x^{2} + 5 x + 10 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Gruppiere die Terme um.

$- x^{3} + 5 x + x^{4} - 7 x^{2} + 10 = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $- x$ aus $- x^{3} + 5 x$ heraus.

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $- x$ aus $- x^{3}$ heraus.

$- x \cdot x^{2} + 5 x + x^{4} - 7 x^{2} + 10 = 0$

Schritt 2.1.2.2

Faktorisiere $- x$ aus $5 x$ heraus.

$- x \cdot x^{2} - x \cdot - 5 + x^{4} - 7 x^{2} + 10 = 0$

Schritt 2.1.2.3

Faktorisiere $- x$ aus $- x (x^{2}) - x (- 5)$ heraus.

$- x (x^{2} - 5) + x^{4} - 7 x^{2} + 10 = 0$

Schritt 2.1.3

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$- x (x^{2} - 5) + {(x^{2})}^{2} - 7 x^{2} + 10 = 0$

Schritt 2.1.4

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$- x (x^{2} - 5) + u^{2} - 7 u + 10 = 0$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere $u^{2} - 7 u + 10$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1.5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $10$ und deren Summe $- 7$ ist.

$- 5, - 2$

Schritt 2.1.5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- x (x^{2} - 5) + (u - 5) (u - 2) = 0$

Schritt 2.1.6

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$- x (x^{2} - 5) + (x^{2} - 5) (x^{2} - 2) = 0$

Schritt 2.1.7

Faktorisiere $x^{2} - 5$ aus $- x (x^{2} - 5) + (x^{2} - 5) (x^{2} - 2)$ heraus.

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Schritt 2.1.7.1

Faktorisiere $x^{2} - 5$ aus $- x (x^{2} - 5)$ heraus.

$(x^{2} - 5) (- x) + (x^{2} - 5) (x^{2} - 2) = 0$

Schritt 2.1.7.2

Faktorisiere $x^{2} - 5$ aus $(x^{2} - 5) (- x) + (x^{2} - 5) (x^{2} - 2)$ heraus.

$(x^{2} - 5) (- x + x^{2} - 2) = 0$

Schritt 2.1.8

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$(x^{2} - 5) (- u + u^{2} - 2) = 0$

Schritt 2.1.9

Faktorisiere $- u + u^{2} - 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1.9.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 2$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 2, 1$

Schritt 2.1.9.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x^{2} - 5) ((u - 2) (u + 1)) = 0$

Schritt 2.1.10

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.10.1

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$(x^{2} - 5) ((x - 2) (x + 1)) = 0$

Schritt 2.1.10.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x^{2} - 5) (x - 2) (x + 1) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} - 5 = 0$

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x^{2} - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x^{2} - 5$ gleich $0$ .

$x^{2} - 5 = 0$

Schritt 2.3.2

Löse $x^{2} - 5 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 5$

Schritt 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{5}$

Schritt 2.3.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.3.2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{5}$

Schritt 2.3.2.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{5}$

Schritt 2.3.2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Schritt 2.4

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 2.5

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x^{2} - 5) (x - 2) (x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}, 2, - 1$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}, 2, - 1$

Dezimalform:

$x = 2.23606797 \dots, - 2.23606797 \dots, 2, - 1$

Schritt 4