Elementarmathematik Beispiele

$p (x) = 12 x^{3} + 16 x^{2} - x - 5$

Schritt 1

Setze $12 x^{3} + 16 x^{2} - x - 5$ gleich $0$ .

$12 x^{3} + 16 x^{2} - x - 5 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $12 x^{3} + 16 x^{2} - x - 5$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.1.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

Schritt 2.1.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.08\overline{3}, \pm 0.5, \pm 0.1\overline{6}, \pm 0.\overline{3}, \pm 0.25, \pm 5, \pm 0.41\overline{6}, \pm 2.5, \pm 0.8\overline{3}, \pm 1.\overline{6}, \pm 1.25$

Schritt 2.1.1.3

Setze $- 1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 2.1.1.3.1

Setze $- 1$ in das Polynom ein.

$12 {(- 1)}^{3} + 16 {(- 1)}^{2} + 1 - 5$

Schritt 2.1.1.3.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$12 \cdot - 1 + 16 {(- 1)}^{2} + 1 - 5$

Schritt 2.1.1.3.3

Mutltipliziere $12$ mit $- 1$ .

$- 12 + 16 {(- 1)}^{2} + 1 - 5$

Schritt 2.1.1.3.4

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- 12 + 16 \cdot 1 + 1 - 5$

Schritt 2.1.1.3.5

Mutltipliziere $16$ mit $1$ .

$- 12 + 16 + 1 - 5$

Schritt 2.1.1.3.6

Addiere $- 12$ und $16$ .

$4 + 1 - 5$

Schritt 2.1.1.3.7

Addiere $4$ und $1$ .

$5 - 5$

Schritt 2.1.1.3.8

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$0$

Schritt 2.1.1.4

Da $- 1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{12 x^{3} + 16 x^{2} - x - 5}{x + 1}$

Schritt 2.1.1.5

Dividiere $12 x^{3} + 16 x^{2} - x - 5$ durch $x + 1$ .

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Schritt 2.1.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$x$

$5$

Schritt 2.1.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $12 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$12 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$x$	-	$5$

Schritt 2.1.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$12 x^{2}$
$x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			+	$12 x^{3}$	+	$12 x^{2}$

Schritt 2.1.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $12 x^{3} + 12 x^{2}$

				$12 x^{2}$
$x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$12 x^{3}$	-	$12 x^{2}$

Schritt 2.1.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$12 x^{2}$
$x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$12 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$

Schritt 2.1.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$12 x^{2}$
$x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$12 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$x$

Schritt 2.1.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $4 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$12 x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$12 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$x$

Schritt 2.1.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$12 x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$12 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$

Schritt 2.1.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $4 x^{2} + 4 x$

				$12 x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$12 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$

Schritt 2.1.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$12 x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$12 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$5 x$

Schritt 2.1.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$12 x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$12 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$5 x$	-	$5$

Schritt 2.1.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 5 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$12 x^{2}$	+	$4 x$	-	$5$
$x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$12 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$5 x$	-	$5$

Schritt 2.1.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$12 x^{2}$	+	$4 x$	-	$5$
$x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$12 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$5 x$	-	$5$
							-	$5 x$	-	$5$

Schritt 2.1.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 5 x - 5$

				$12 x^{2}$	+	$4 x$	-	$5$
$x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$12 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$5 x$	-	$5$
							+	$5 x$	+	$5$

Schritt 2.1.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$12 x^{2}$	+	$4 x$	-	$5$
$x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$12 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$5 x$	-	$5$
							+	$5 x$	+	$5$
										$0$

Schritt 2.1.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$12 x^{2} + 4 x - 5$

Schritt 2.1.1.6

Schreibe $12 x^{3} + 16 x^{2} - x - 5$ als eine Menge von Faktoren.

$(x + 1) (12 x^{2} + 4 x - 5) = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 12 \cdot - 5 = - 60$ und deren Summe gleich $b = 4$ ist.

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Schritt 2.1.2.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$(x + 1) (12 x^{2} + 4 (x) - 5) = 0$

Schritt 2.1.2.1.1.2

Schreibe $4$ um als $- 6$ plus $10$

$(x + 1) (12 x^{2} + (- 6 + 10) x - 5) = 0$

Schritt 2.1.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x + 1) (12 x^{2} - 6 x + 10 x - 5) = 0$

Schritt 2.1.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x + 1) ((12 x^{2} - 6 x) + 10 x - 5) = 0$

Schritt 2.1.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x + 1) (6 x (2 x - 1) + 5 (2 x - 1)) = 0$

Schritt 2.1.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x - 1$ .

$(x + 1) ((2 x - 1) (6 x + 5)) = 0$

Schritt 2.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 1) (2 x - 1) (6 x + 5) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

$2 x - 1 = 0$

$6 x + 5 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 2.4

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $2 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 1$

Schritt 2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 2.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 2.5

Setze $6 x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $6 x + 5$ gleich $0$ .

$6 x + 5 = 0$

Schritt 2.5.2

Löse $6 x + 5 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 x = - 5$

Schritt 2.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $6 x = - 5$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $6 x = - 5$ durch $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 5}{6}$

Schritt 2.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 2.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 5}{6}$

Schritt 2.5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 5}{6}$

Schritt 2.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{5}{6}$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 1) (2 x - 1) (6 x + 5) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, \frac{1}{2}, - \frac{5}{6}$

Schritt 3