Elementarmathematik Beispiele

$g (x) = \ln (x - x^{2})$

Schritt 1

Setze das Argument in $\ln (x - x^{2})$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$x - x^{2} > 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$x - x^{2} = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $x$ aus $x - x^{2}$ heraus.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$x \cdot 1 - x^{2} = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2}$ heraus.

$x \cdot 1 + x (- x) = 0$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 1 + x (- x)$ heraus.

$x (1 - x) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$1 - x = 0$

Schritt 2.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.5

Setze $1 - x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $1 - x$ gleich $0$ .

$1 - x = 0$

Schritt 2.5.2

Löse $1 - x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 1$

Schritt 2.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.5.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.2.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$x = 1$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (1 - x) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 1$

Schritt 2.7

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Schritt 2.8

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 2.8.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.8.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 2.8.1.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(- 2) - {(- 2)}^{2} > 0$

Schritt 2.8.1.3

Die linke Seite $- 6$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 2.8.2

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.8.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0.5$

Schritt 2.8.2.2

Ersetze $x$ durch $0.5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(0.5) - {(0.5)}^{2} > 0$

Schritt 2.8.2.3

Die linke Seite $0.25$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 2.8.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.8.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 2.8.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(4) - {(4)}^{2} > 0$

Schritt 2.8.3.3

Die linke Seite $- 12$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 2.8.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 0$ Falsch

$0 < x < 1$ Wahr

$x > 1$ Falsch

$x < 0$ Falsch

$0 < x < 1$ Wahr

$x > 1$ Falsch

Schritt 2.9

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$0 < x < 1$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(0, 1)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | 0 < x < 1}$

Schritt 4