Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{3 x^{2} + 1}{x^{2} + x + 9}$

Schritt 1

Setze den Nenner in $\frac{3 x^{2} + 1}{x^{2} + x + 9}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} + x + 9 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 1$ und $c = 9$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 36}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.1.3

Subtrahiere $36$ von $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 35}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.1.4

Schreibe $- 35$ als $- 1 (35)$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (35)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{35}$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{35}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{35}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{35}}{2}$

Schritt 2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 36}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.3

Subtrahiere $36$ von $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 35}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.4

Schreibe $- 35$ als $- 1 (35)$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (35)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{35}$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{35}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{35}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{35}}{2}$

Schritt 2.4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{35}}{2}$

Schritt 2.4.4

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{35}}{2}$

Schritt 2.4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $i \sqrt{35}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{35})}{2}$

Schritt 2.4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (- i \sqrt{35})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{35})}{2}$

Schritt 2.4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{35}}{2}$

Schritt 2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 36}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.3

Subtrahiere $36$ von $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 35}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.4

Schreibe $- 35$ als $- 1 (35)$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (35)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{35}$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{35}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{35}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{35}}{2}$

Schritt 2.5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{35}}{2}$

Schritt 2.5.4

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{35}}{2}$

Schritt 2.5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- i \sqrt{35}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{35})}{2}$

Schritt 2.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (i \sqrt{35})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{35})}{2}$

Schritt 2.5.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{35}}{2}$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{35}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{35}}{2}$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 4

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$[\frac{56 - 2 \sqrt{679}}{35}, \frac{56 + 2 \sqrt{679}}{35}]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | \frac{56 - 2 \sqrt{679}}{35} \leq y \leq \frac{56 + 2 \sqrt{679}}{35}}$

Schritt 5

Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich.

Definitionsbereich: $(- \infty, \infty), {x | x \in ℝ}$

Wertebereich: $[\frac{56 - 2 \sqrt{679}}{35}, \frac{56 + 2 \sqrt{679}}{35}], {y | \frac{56 - 2 \sqrt{679}}{35} \leq y \leq \frac{56 + 2 \sqrt{679}}{35}}$

Schritt 6